On appelle anneau (unitaire, ou unifère) , tout triplet ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ constitué d’un ensemble ${\displaystyle A}$ et de deux lois de composition internes ${\displaystyle +}$ et ${\displaystyle \cdot }$ sur ${\displaystyle A}$ qui vérifient :

• ${\displaystyle (A,+)}$ est un groupe commutatif de neutre ${\displaystyle 0_{A}}$;
• ${\displaystyle (A,\cdot )}$ est associative de neutre ${\displaystyle 1_{A}}$;
• la loi ${\displaystyle \cdot }$ est distributive par rapport à ${\displaystyle +}$ :

  ${\displaystyle \forall a,b,c\in A\qquad (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad {\text{et}}\quad c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b}$.

L'anneau est dit commutatif si, de plus, la loi ${\displaystyle \cdot }$ est commutative.

• L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ des entiers relatifs, muni de l'addition et la multiplication usuelles, est un anneau commutatif unifère.
• Tout corps commutatif aussi.
• Les polynômes à coefficients dans un anneau ${\displaystyle A}$ forment un anneau, noté traditionnellement ${\displaystyle A[X]}$. Plus généralement, les polynômes en plusieurs indéterminées ${\displaystyle X_{i}}$ (où ${\displaystyle i}$ parcourt un ensemble d'indices ${\displaystyle I}$ non nécessairement fini), forment l'anneau ${\displaystyle A[(X_{i})_{i\in I}]}$.
• Les matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un anneau ${\displaystyle A}$ forment un anneau, noté ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(A)}$.

Si A est un anneau, l'ensemble de ses éléments inversibles, noté A^×, forme naturellement un groupe pour la multiplication.

Un sous-anneau d'un anneau ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ est une partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle A}$ telle que :

• ${\displaystyle (B,+)}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle (A,+)}$ ;
• ${\displaystyle B}$ est stable par ${\displaystyle \cdot }$ ;
• L'élément neutre de ${\displaystyle (A,\cdot )}$ appartient à ${\displaystyle B}$.

Soient ${\displaystyle (A,+,\cdot )}$ un anneau et ${\displaystyle I\subset A}$.

• ${\displaystyle I}$ est un idéal à gauche de ${\displaystyle A}$ si :
  • ${\displaystyle (I,+)}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle (A,+)}$ ;
  • ${\displaystyle A\cdot I\subset I}$.
• ${\displaystyle I}$ est un idéal à droite de ${\displaystyle A}$ si :
  • ${\displaystyle (I,+)}$ est un sous-groupe de ${\displaystyle (A,+)}$ ;
  • ${\displaystyle I\cdot A\subset I}$.
• ${\displaystyle I}$ est un idéal bilatère de ${\displaystyle A}$ s'il est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite de ${\displaystyle A}$.

• ${\displaystyle \{0\}}$ et ${\displaystyle A}$ sont des idéaux bilatères de ${\displaystyle A}$, appelés idéaux triviaux de ${\displaystyle A}$.
• On a toujours ${\displaystyle I=1\cdot I\subset A\cdot I}$, donc ${\displaystyle A\cdot I\subset I\Rightarrow A\cdot I=I}$. De même, ${\displaystyle I\cdot A\subset I\Rightarrow I\cdot A=I}$.
• Si ${\displaystyle A}$ est commutatif, ses trois types d'idéaux sont confondus.

Un anneau commutatif ${\displaystyle A}$ est dit intègre si :

• ${\displaystyle A}$ n'est pas réduit à ${\displaystyle \{0\}}$ ;
• ${\displaystyle A}$ ne possède pas de diviseurs de zéro, c'est-à-dire :
  ${\displaystyle \forall a,b\in A\quad \left(ab=0\Rightarrow \left(a=0{\text{ ou }}b=0\right)\right)}$.