Théorème de convergence monotone

En mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un théorème important de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Dans les ouvrages, on le présente en général dans une suite de trois résultats, avec le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée, car ces deux derniers s'en déduisent.

Ce théorème indique que la convergence simple vers $f$ d'une suite croissante de fonctions mesurables positives implique la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de $f$ .

Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir le symbole $\int$ d'intégration et celui $\lim$ de passage à la limite. De façon équivalente, il permet, pour une série de fonctions mesurables positives, de permuter les deux symboles $\int$ et $\sum$ .

Énoncé

Soit $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré. Pour toute suite croissante $(f_{n})$ de fonctions mesurables sur $E$ et à valeurs dans $[0, +\infty]$ , la limite simple de la suite est mesurable et l'on a :

\int (\lim f_{n})~\mathrm {d} \mu =\lim \left(\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \right)

.

Comme corollaire important, si les intégrales $\int f_{n}~\mathrm {d} \mu$ sont toutes majorées par un même réel, alors la fonction $\lim f_{n}$ est intégrable, donc finie presque partout, et on peut exprimer le résultat en disant que la suite $(f_{n})$ converge vers $f$ pour la norme L¹.

On peut aussi exprimer le théorème en utilisant, au lieu d'une suite croissante, une série de fonctions mesurables $u_{n}$ à valeurs positives ou nulles. Le théorème dit que l'on a toujours

\int \left(\sum u_{n}\right)~\mathrm {d} \mu =\sum \left(\int u_{n}~\mathrm {d} \mu \right).

Le corollaire se traduit alors par : si la série des intégrales converge, alors la série des $u_{n}$ est intégrable donc finie presque partout, c'est-à-dire que pour presque tout $x$ , la série $\sum u_{n}(x)$ converge.

Démonstration

Démonstration

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Notons

I_{n}=\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \quad {\text{et}}\quad I=\int f~\mathrm {d} \mu .

Comme la suite de fonctions $(f n)$ est croissante et majorée par $f$ , la suite $(I n)$ (à valeurs dans $[0, +\infty]$ ) est croissante — donc sa limite (éventuellement infinie) existe — et cette suite est majorée par $I$ . On a donc :

\lim I_{n}\leq I

.

Pour démontrer l'inégalité dans l'autre sens, considérons une fonction étagée $s$ telle que

0\leq s\leq f

.

Soit $c$ une constante strictement inférieure à 1, posons

E_{n}=\{x\in E\mid f_{n}(x)\geq cs(x)\}

.

Par construction, on a :

I_{n}\geq \int _{E_{n}}f_{n}~\mathrm {d} \mu \geq c\int _{E_{n}}s~\mathrm {d} \mu

.

De plus, les ensembles mesurables E_n forment une suite croissante dont la réunion est E. Par conséquent,

\lim \int _{E_{n}}s~\mathrm {d} \mu =\int s~\mathrm {d} \mu

.

Donc

\lim I_{n}\geq c\int s~\mathrm {d} \mu

,

et ce pour tout $c < 1$ , autrement dit :

\lim I_{n}\geq \sup _{c<1}c\int s~\mathrm {d} \mu

c'est-à-dire :

\lim I_{n}\geq \int s~\mathrm {d} \mu

.

Comme cette inégalité est vraie pour toute fonction étagée positive s majorée par f, par définition de $I$ on obtient bien :

\lim I_{n}\geq I

.

Histoire

Au début du XX^e siècle, une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article de Lebesgue, « Sur une généralisation de l'intégrale définie », publié dans les Comptes Rendus du 29 avril 1901. Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien Beppo Levi (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de théorème de Beppo Levi.

Remarques

Convergence simple

Une fonction non élémentaire en mathématiques est souvent construite comme limite d'une suite et plus généralement d'une série. Ces fonctions sont par exemple obtenues par une construction de type série entière ou par les méthodes de l'analyse harmonique.

Parfois, cette série converge « bien ». Par « bien » converger, on entend la convergence au sens d'une topologie « forte » ou d'une « bonne » distance. Par exemple, la distance de la convergence uniforme qui indique qu'une section finissante de la suite se trouve dans une bande de largeur aussi petite que l'on veut.

Malheureusement, une convergence forte est rare. Par exemple, la suite des polynômes $(x n)$ sur l'intervalle $[0, 1]$ ne converge pas uniformément. Un critère de convergence peu contraignant est la convergence simple, qui indique uniquement qu'en chaque point les fonctions convergent. La régularité de la convergence n'est pas assurée. Si le critère de convergence est peu contraignant, il offre hélas des propriétés peu enrichissantes. C'est le cas de notre exemple $(x n)$ qui, sur $[0, 1]$ converge simplement vers la fonction indicatrice du singleton ${1}$ .

Convergence presque partout

Presque partout signifie que la propriété est vraie en chaque point sauf peut-être sur un ensemble de mesure nulle. En effet, le comportement d'une fonction est invariant pour l'intégrale de Lebesgue si la fonction n'est modifiée que sur un ensemble de mesure nulle.

Séries doubles

Dans le cas particulier où l'espace mesuré est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à termes positifs.

Intérêt du théorème

L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans L¹(E). Ce résultat est donc indispensable pour l'étude d'espaces de fonctions comme l'espace des séries entières, des fonctions harmoniques ou des espaces de Hardy ou de Sobolev.

Le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée peuvent être établis en utilisant le théorème de convergence monotone. Ce théorème est aussi utilisé pour construire les mesures à densité et pour démontrer le théorème de Fubini.

Non-validité dans le cadre de la théorie de Riemann

Considérons l'exemple suivant : à partir d'une énumération de tous les rationnels compris entre $0$ et $1$ , on définit la fonction $f n$ (pour tout entier naturel n) comme l'indicatrice de l'ensemble des $n$ premiers termes de cette suite de rationnels. La suite croissante des fonctions $f n$ (positives et d'intégrale de Riemann nulle) converge alors simplement vers l'indicatrice de ℚ, qui n'est pas Riemann-intégrable.

Nécessité de l'hypothèse de positivité

L'exemple de la suite de fonctions $(f_{n})_{n}$ définies sur $\mathbb {R}$ par $f_{n}=-1_{[n,\infty [}$ montre que la condition de positivité des $f_{n}$ est nécessaire.

Liens externes

Théorèmes de Lebesgue, cours de Daniel Choï, université de Caen
Théorème de convergence monotone sur les-mathematiques.net

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