Espace fonctionnel
En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble vers un ensemble
Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux.
Domaines
Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques :
- en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble peut être identifié avec l'ensemble des fonctions de à valeurs dans , noté . Plus généralement, l'ensemble des applications est noté ;
- en algèbre linéaire, l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel vers un autre sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel ;
- en analyse fonctionnelle, on a la même construction avec les applications linéaires continues, sur des espaces vectoriels topologiques, typiquement : des espaces de fonctions à valeurs réelles ou complexes, munis d'une certaine topologie ; les exemples les plus connus sont les espaces hilbertiens et les espaces de Banach.
- en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque est appelé espace de suites. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de ;
- en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique X dans un autre Y, dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est la topologie compacte-ouverte. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) . Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple ;
- en topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions ;
- en théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps) ;
- en théorie des catégories, un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel. Il apparaît d'une part comme le bifoncteur Hom ; mais en tant que foncteur (simple), du type [X, -], il apparaît comme foncteur adjoint à un foncteur de type (-×X) sur des objets ;
- en lambda-calcul et en programmation fonctionnelle, des types d'espaces de fonctions sont employés pour exprimer l'idée de fonction d'ordre supérieur ;
- en théorie des domaines, l'idée fondamentale est de trouver des constructions à partir d'ordres partiels qui peuvent modéliser le lambda-calcul, en créant une catégorie cartésienne fermée.
Analyse fonctionnelle
Espaces généraux
- un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique sur R dont la topologie est définie par une famille de semi-normes (ou de façon équivalente possédant des bases de voisinages convexes) ;
- un espace de Fréchet est un espace localement convexe séparé dont la topologie est définie par une famille dénombrable de semi-normes (ou de façon équivalente : métrisable) et complet (pour n'importe laquelle des distances qui définissent sa topologie) ;
- un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet ;
- un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est associée à un produit scalaire.
Espaces particuliers
- espace de Schwartz des fonctions de classe à décroissance rapide et son dual topologique, l'espace des distributions tempérées ;
- espaces Lp ;
- espace des fonctions continues à support compact muni de la norme de la convergence uniforme ;
- espace des fonctions continues bornées ;
- espace des fonctions continues qui tendent vers zéro à l'infini ;
- espace des fonctions classe ;
- espace des fonctions C∞ à support compact, muni des normes uniformes de la fonction et de ses dérivées ;
- espace des fonctions à support compact, muni cette fois d'une certaine topologie limite inductive ;
- espace des fonctions holomorphes ;
- espaces de Sobolev ;
- espaces de Besov
- applications affines par morceaux ;
- espace des fonctions continues muni de la topologie compacte-ouverte ;
- espace des fonctions muni de la topologie de la convergence simple ;
- espaces de Hardy ;
- espaces de Hölder.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Function space » (voir la liste des auteurs).
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