Homotopie

C'est une classe d'équivalence du chemin pour la relation d'homotopie.

Les deux chemins γ₀ et γ₁ sont strictement homotopes.

Soit X un espace topologique. Un chemin continu γ de X est une application continue du segment réel [0, 1] dans X. Cette définition correspond à l'idée intuitive de chemin, au sens de sentier qui part d'un point γ(0) pour arriver à un autre point γ(1).

Deux chemins continus γ₀ et γ₁ de X sont dits homotopes[1] lorsqu'il existe une application continue H de [0, 1]² dans X telle que l'application qui à t associe H(t, 0) est égale à γ₀ et celle qui à t associe H(t, 1) est égale à γ₁. Formellement :

${\displaystyle \forall t\in [0,1]\quad H(t,0)=\gamma _{0}(t){\text{ et }}H(t,1)=\gamma _{1}(t)}$

Cette situation ne décrit pas encore exactement la situation représentée à droite. Sur l'illustration, les deux chemins γ₀ et γ₁ possèdent la même origine x ainsi que la même extrémité y. C'est-à-dire :

${\displaystyle \gamma _{0}(0)=\gamma _{1}(0)=x{\text{ et }}\gamma _{0}(1)=\gamma _{1}(1)=y.}$

Deux chemins continus γ₀ et γ₁ de X ayant même origine et même extrémité sont dits homotopes strictement[1] lorsqu'ils sont homotopes d'homotopie H et que, pour tout s élément de [0, 1] :

${\displaystyle H(0,s)=x{\text{ et }}H(1,s)=y.}$

Les définitions précédentes se généralisent à deux fonctions continues f et g d'un espace topologique X dans un espace topologique Y.

Les deux fonctions f et g sont dites homotopes[2], d'homotopie H, si H est une fonction continue de X×[0, 1] dans Y telle que l'application qui à x associe H(x, 0) est égale à f et celle qui à x associe H(x, 1) est égale à g.

Il est possible de généraliser la deuxième définition. Soit A un sous-ensemble de X tel que les restrictions de f et de g à A soient égales.

Les deux fonctions f et g sont dites homotopes relativement à A si f et g sont homotopes, d'homotopie H et que[2] :

${\displaystyle \forall s\in [0,1],\;\forall a\in A\quad H(a,s)=f(a)=g(a)}$

Un espace X est dit contractile si son application identité id_X est homotope à une application constante, ou encore : si toute application continue d'un espace Y dans X est homotope à une application constante.

En particulier, un espace contractile est simplement connexe :

Tout lacet d'un espace contractile est homotope à un lacet constant.

Dans un espace vectoriel normé (ou plus généralement : un espace vectoriel topologique) sur ℝ, toute partie étoilée, en particulier tout convexe non vide, est contractile. La figure de droite illustre le cas d'un lacet dans un disque. Ce lacet est visiblement homotope « à un point », c'est-à-dire à un lacet constant.

Dans le cas d'un cercle S¹, identifié ici aux complexes de module 1, la situation n'est pas équivalente à la précédente. Intuitivement, si un fil parcourt une boucle autour d'un cercle, il n'est pas possible de modifier le « nombre de tours » (compté algébriquement) sans que le fil ne quitte la surface du cercle et sans le briser. Ce nombre de tours est défini formellement la façon suivante[3]. L'application ℝ → S¹, t ↦ exp(i2πt) étant un homéomorphisme local, tout lacet γ : [0, 1] → S¹ tel que γ(0) = γ(1) = 1 possède un unique relèvement continu ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ tel que ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\gamma }}(0)=0}$, et le degré du lacet γ est alors l'entier ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\gamma }}(1)}$. Si deux tels lacets sont homotopes, on démontre (en relevant de même cette homotopie) qu'ils ont même degré. En effet, le long de l'homotopie, le degré varie continûment et ne prend que des valeurs entières, donc il est constant.

Par exemple, le lacet qui à t associe exp(i2πt), de degré 1, n'est pas homotope au lacet constant qui à t associe 1, de degré 0.

L'homotopie est source de nombreuses démonstrations. Un exemple célèbre est le théorème de d'Alembert-Gauss, qui indique que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans ℂ[4].

Pour le démontrer, on considère un polynôme unitaire P n'ayant aucune racine dans ℂ et on va prouver que son degré n est nul. Pour chaque réel positif r, on définit le lacet α_r par :

${\displaystyle \forall t\in [0,1]\quad \alpha _{r}(t)={\frac {P(r\exp(2\pi \mathrm {i} t))/P(r)}{|P(r\exp(2\pi \mathrm {i} t))/P(r)|}}.}$

Par définition, α_r est un lacet défini sur le cercle. Si r est égal à 0, on obtient le lacet constant égal à 1. Comme la fonction qui à r et t associe α_r(t) est continue, tous les lacets α_r sont homotopes à un point.

Soient (a_j) la suite des coefficients de P et ρ un nombre réel plus grand que 1 et que la somme Σ|a_j| des modules des coefficients de P. Si z est un complexe de module ρ,

${\displaystyle (1)\quad |z^{n}|=\rho ^{n}>(|a_{0}|+\cdots +|a_{n-1}|)\rho ^{n-1}\geq |a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|.}$

On définit le polynôme P_s et le lacet β_s par :

${\displaystyle P_{s}(z)=s(a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1})+z^{n},\quad \forall t\in [0,1]\quad \beta _{s}(t)={\frac {P_{s}(\rho \exp(2\pi \mathrm {i} t))/P_{s}(\rho )}{|P_{s}(\rho \exp(2\pi \mathrm {i} t))/P_{s}(\rho )|}}.}$

Les inégalités (1) montrent que si |s| ≤ 1, le polynôme P_s n'admet pas de racine de module ρ donc le lacet β_s est bien défini. Le lacet β₀ fait n tours autour de l'origine, d'après le paragraphe précédent. Comme la fonction qui à s et t associe β_s(t) est continue, ce lacet β₀ est homotope à β₁ = α_ρ. Comme ce dernier est homotope à un point c'est-à-dire qu'il fait 0 tour autour de l'origine, n est bien égal à 0.

Si X est un espace topologique, on peut composer deux lacets de même base p (c'est-à-dire de même origine et même extrémité p) α₁ et α₂ en construisant un lacet parcourant d'abord la trajectoire de α₁, puis celle de α₂. Cette composition est compatible avec la relation d'équivalence est homotope à. Quotienté par cette relation d'équivalence, on obtient une structure de groupe appelé groupe fondamental ou groupe de Poincaré[5]. Cette notion se généralise et permet de définir une infinité de groupes d'homotopie.

Ce groupe est à l'origine de démonstrations. L'une des plus célèbres est celle du théorème du point fixe de Brouwer en dimension deux, qui indique que toute application continue du disque dans lui-même admet un point fixe[6].

Si trois fermés recouvrent une sphère, l'un au moins contient deux points antipodaux.

L'homotopie est l'un des outils essentiels de la topologie algébrique[7]. Le cas le plus simple, celui des lacets est la source de nombreuses démonstrations dans ce domaine. En plus du théorème de d'Alembert-Gauss ou de celui du point fixe de Brouwer, celui de Borsuk-Ulam est caractéristique d'une démarche de la topologie algébrique. En dimension deux, il indique que toute application continue de la sphère dans ℝ² admet deux points antipodaux de même image[8]. Autrement dit, il existe toujours sur terre deux points situés aux antipodes ayant exactement la même température et la même pression[9]. Il permet de résoudre par l'affirmative quelques questions célèbres comme celle du sandwich au jambon : existe-il un plan qui coupe trois solides bornés et mesurables (correspondant au jambon, au fromage et au pain d'un sandwich) en deux parties de volumes égaux pour les trois solides[10] ? Les raisonnements de topologie algébrique faisant usage de l'homotopie permettent aussi de démontrer que si trois fermés ont pour union la sphère, l'un d'entre eux au moins contient deux points antipodaux[11].

Exemple de partage entre deux voleurs d'un collier de perles de deux couleurs différentes, deux coupes suffisent.

On peut citer encore la question du partage du collier et des deux voleurs : un collier ouvert, illustré à gauche, est formé de perles de deux couleurs différentes, avec un nombre pair de perles de chaque couleur. On montre de façon élémentaire que les deux voleurs peuvent se répartir équitablement les perles en coupant le collier par seulement deux coups de ciseaux. Le théorème de Borsuk-Ulam permet de démontrer que plus généralement, s'il y a t couleurs de perles, t coupes suffisent.