Distribution tempérée

Toute distribution à support compact est tempérée et ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ s'injecte continûment dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N}).}$

Toute mesure bornée et plus généralement, toute mesure de Borel μ (signée, voire complexeMesure complexe) sur ℝ^N, représente une distribution T_μ, définie via l'injection linéaire T :

${\displaystyle \langle T_{\mu },\phi \rangle$ :=\int _{\mathbb {R} ^{N}}\phi \,\mathrm {d} \mu } pour toute fonction ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{N}).}$

Pour que cette distribution soit tempérée, il suffit que la mesure μ le soit, c'est-à-dire vérifie les conditions équivalentes suivantes, où la mesure positive |μ| est la variation de μ :

• il existe un entier naturel p tel que la mesure à densité (1 + ║x║²)^–p|μ| soit finie ;
• il existe un entier naturel p tel que |μ|(B(0, R)) = O(R^p) (quand le rayon R de la boule B(0, R) tend vers l'infini).

Remarque : cette condition suffisante n'est pas nécessaire. Par exemple sur ℝ, la fonction x ↦ sin(e^x) est la densité, par rapport à la mesure de Lebesgue λ, d'une mesure tempérée, qui définit donc une distribution tempérée, donc sa dérivée x ↦ e^xcos(e^x) définit aussi une distribution tempérée, bien qu'elle soit à croissance exponentielle.

Pour toute fonction localement intégrable f, les considérations précédentes s'appliquent à la mesure à densité μ = f λ.

La distribution T_{f λ}, dite régulière, est donc tempérée par exemple si :

• f est (localement intégrable et) à croissance polynomiale (i.e. en O(║x║^c) pour un certain réel c, au voisinage de l'infini) ;
• f appartient à un espace de Lebesgue L^p(ℝ^N), avec 1 ≤ p ≤ ∞.

Plus précisément, L^p(ℝ^N) s'injecte continûment dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N}).}$

Les considérations précédentes s'appliquent également à toute mesure μ à support dans ℤ^N, canoniquement associée à une suite multi-indexée a = (a_k)_k∈ℤ^N de complexes par la relation a_k = μ({k}). La distribution T_μ associée, qui s'écrit alors ${\displaystyle T_{\mu }=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{N}}a_{k}\delta _{k},}$ est donc tempérée dès que la suite a est à croissance polynomiale.

Une distribution ${\displaystyle T}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ est dite périodique de période ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}$ si ${\displaystyle T\circ \tau _{a}=T,}$ où ${\displaystyle \tau _{a}:x\mapsto x+a}$ désigne la translation de ${\displaystyle a.}$

Sur ℝ^N, toute distribution périodique est tempérée.

Les exemples les plus simples sont le peigne de Dirac Ш₁ — qui est à la fois périodique et à support dans ℤ — et les distributions régulières périodiques, c'est-à-dire associées à des fonctions localement intégrables périodiques.

On appelle transformation de Fourier de ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ la transposée de la transformation de Fourier de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$. On la note de nouveau ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, autrement dit on pose

${\displaystyle \forall T\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})\quad \left\langle {\mathcal {F}}T,\phi \right\rangle =\left\langle T,{\mathcal {F}}\phi \right\rangle .}$

Note : on retrouve la transformée de Fourier usuelle si T s'identifie à une fonction de L¹ ou L², ou à une fonction localement intégrable périodique (cf. article détaillé).

On définit de même l'opérateur ${\displaystyle {\mathcal {\bar {F}}}}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})}$ comme le transposé de celui sur ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ :

${\displaystyle \forall T\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})\quad \left\langle {\mathcal {\bar {F}}}T,\phi \right\rangle =\left\langle T,{\mathcal {\bar {F}}}\phi \right\rangle .}$

On déduit des propriétés des opérateurs sur ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{N})}$ les propriétés analogues pour leurs transposés :

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise ${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi \xi \cdot x}.}$

La transformée de Fourier dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$ hérite de ses propriétés dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est un automorphisme de période 4 (i.e. 4 est le plus petit entier positif k tel que ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}={\rm {Id}}}$), bicontinu (${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ est aussi continue).
• En particulier ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ hérite de la continuité séquentielle. Pour toute suite ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ de distributions tempérées,${\displaystyle T_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}T\Rightarrow {\mathcal {F}}T_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}{\mathcal {F}}T.}$
• Dans ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{N})}$, la transformation de Fourier échange l'espace des convoleurs ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})}$ et l'espace des multiplicateurs ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N}),}$ et échange le produit convolutif et le produit multiplicatif. Autrement dit, soit ${\displaystyle S\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N}),T\in {\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N})}$ et ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N}),}$ alors on a${\displaystyle {\mathcal {F}}T\in {\mathcal {O}}_{M}(\mathbb {R} ^{N}),\quad {\mathcal {F}}f\in {\mathcal {O}}_{c}^{\prime }(\mathbb {R} ^{N}),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(T\ast S)=({\mathcal {F}}T)({\mathcal {F}}S)\quad {\rm {et}}\quad {\mathcal {F}}(fS)=({\mathcal {F}}f)\ast ({\mathcal {F}}S).}$

Les formules dépendent de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elles sont valides pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise ${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\rm {i}}2\pi \xi \cdot x}.}$

Soit T une distribution tempérée sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}.}$ Les opérations alors utilisées dans les cas des fonctions sont maintenant valides sans hypothèse supplémentaire.

• Dérivation : pour tout ${\displaystyle k=1,\ldots ,N\qquad }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\partial _{x_{k}}T)=2\pi {\rm {i}}\xi _{k}{\mathcal {F}}T.}$
• Multiplication par un polynôme : pour tout ${\displaystyle k=1,\ldots ,N\quad }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(x_{k}T)=1/({\rm {i}}2\pi )\partial _{x_{k}}{\mathcal {F}}T.}$
• Translation : pour tout ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,~{\mathcal {F}}(T\circ \tau _{a})=e_{2\pi a}{\mathcal {F}}T.}$
• Modulation : pour tout ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,~{\mathcal {F}}(e_{-2\pi a}T)=({\mathcal {F}}T)\circ \tau _{a}.}$

• Transformées des sinusoïdes ${\displaystyle e_{\omega }:\xi \mapsto {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega \cdot \xi }~:}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}e_{\omega }=\delta _{\omega /2\pi }.}$

• Transformées des masses de Dirac. Pour tout ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{N}}$ et tout multi-indice ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{N}~:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\delta _{0}&=1\\{\mathcal {F}}(\partial _{\alpha }\delta _{0})&=\xi \mapsto (-{\rm {i}}2\pi \xi )^{\alpha }\\{\mathcal {F}}\delta _{a}&=\xi \mapsto {\rm {e}}^{-2\pi a\cdot \xi }\\{\mathcal {F}}(\partial _{\alpha }\delta _{a})&=\xi \mapsto (-{\rm {i}}2\pi \xi )^{\alpha }{\rm {e}}^{-2\pi a\cdot \xi }.\end{aligned}}}$

• Transformées des polynômes : pour tout multi-indice ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )\in \mathbb {N} ^{N},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\xi _{1}^{\alpha _{1}}\xi _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \xi _{N}^{\alpha _{N}})={\frac {1}{({\rm {i}}2\pi )^{|\alpha |}}}\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{N}^{\alpha _{N}}\delta _{0}.}$

La transformée de Fourier d'une distribution U T-périodique sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est la distribution en somme de Diracs

${\displaystyle {\mathcal {F}}U=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}\delta _{k/T}}$

c'est-à-dire un signal, échantillonné à la fréquence ${\displaystyle {\frac {1}{T}}}$, dont les échantillons ${\displaystyle (c_{k})_{k\in \mathbb {Z} }}$ sont données par

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {F}}(\phi U)(k/T)}$

pour toute fonction test ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ vérifiant ${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\phi (\cdot +k)\equiv 1.}$

On démontre que l'application f définie sur ℝ^N par

${\displaystyle f(\xi )=\langle T_{x},{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x\cdot \xi }\rangle }$

est de classe C^∞, avec ${\displaystyle \partial ^{\alpha }f(\xi )=\langle T_{x},(-{\rm {i}}x)^{\alpha }{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x\cdot \xi }\rangle }$ donc (en utilisant la continuité de T en termes de semi-normes et la compacité de son support) à croissance polynomiale. Elle définit donc une distribution tempérée régulière T_f, et l'on vérifie que

${\displaystyle {\mathcal {F}}T=T_{f}.}$

Donnons maintenant la définition de la transformée de Fourier-Laplace de T, extension à ℂⁿ de sa transformée de Fourier :

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad z\mapsto \langle T_{x},{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x\cdot z}\rangle .}$

On montre (théorème de Paley-Wiener) que cette fonction est entière.

Ainsi, la transformée de Fourier d'une distribution à support compact est analytique.

Cette remarque est cohérente avec la propriété d'échange entre décroissance à l'infini et régularité. Comme la compacité du support est la plus grande vitesse de décroissance à l'infini, il est prévisible que cette propriété s'échange avec celle de régularité extrême, c'est-à-dire la propriété d'être une fonction entière.