Espace séquentiel

Soit X un espace topologique.

• Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (x_n) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang »[1].
• Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (x_n) de F vers x implique que x appartient à F.

Le complémentaire d'un sous-ensemble séquentiellement fermé est séquentiellement ouvert et vice-versa. Tout ouvert (resp. fermé) de X est séquentiellement ouvert (resp. fermé) mais les réciproques sont fausses en général, ce qui motive la définition suivante.

L'espace X est dit séquentiel s'il satisfaisait l'une des conditions équivalentes suivantes :

• tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de X est ouvert ;
• tout sous-ensemble séquentiellement fermé de X est fermé.

Dans un article fondateur[2] sur les algèbres qui portent son nom, von Neumann soulignait que, dans l'espace ℓ²(ℕ*) muni de la topologie faible, 0 est adhérent à l'ensemble des e_m + me_n mais n'appartient pas à sa fermeture séquentielle (car ses suites convergentes sont bornées en norme donc m est constant à partir d'un certain rang)[3].

Les espaces « qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes » ont fait dans les années 1960 l'objet de nombreuses études, que S. P. Franklin a synthétisées et généralisées[4]^,[5].

Les espaces séquentiels répondent un peu à cette spécification informelle et les espaces de Fréchet-Urysohn un peu mieux, à condition de ne pas la surinterpréter : par exemple sur l'espace ℓ¹, la topologie forte est strictement plus fine que la faible mais les suites convergentes sont les mêmes.

Soit X un espace topologique.

Les sous-ensembles séquentiellement ouverts forment une nouvelle topologie sur X ; l'espace est séquentiel si et seulement si sa « topologie séquentielle » (plus fine a priori) coïncide avec sa topologie originelle[6].

Moins trivialement, les propriétés suivantes sont équivalentes[6] :

• X est séquentiel ;
• X est le quotient d'un espace à bases dénombrables de voisinages ;
• X est le quotient d'un espace métrique ;
• pour tout espace topologique Y et toute application f : X → Y, f est continue si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en tout point x de X, c'est-à-dire que pour toute suite de points (x_n) convergeant vers x, la suite (f(x_n)) converge vers f(x).

• Tout espace métrisable est séquentiel, en particulier tout espace discret.
• Tout CW-complexe aussi (comme quotient d'un espace métrique), sans être nécessairement à bases dénombrables de voisinages (cf. le bouquet de cercles ℝ/ℤ).
• Un exemple simple d'espace non séquentiel est la topologie codénombrable sur un ensemble infini non dénombrable (ses seules suites convergentes sont les suites stationnaires).

Pour un espace T₁ séquentiel, la compacité séquentielle équivaut à la compacité dénombrable.

Tout espace séquentiel est dénombrablement engendré, ou d'étroitesse dénombrable[7] (en anglais : countably tight) – c'est-à-dire que tout point adhérent à une partie est adhérent à une sous-partie au plus dénombrable – mais la réciproque est fausse : il existe même des espaces séparés dénombrables non séquentiels[8]^,[9] et sous l'hypothèse ♢ (en), il existe même des compacts dénombrablement étroits mais non séquentiels[10]. Cependant, sous l'hypothèse du forcing propre (en), il n'en existe pas[11].

En anglais «sequential closure»; on verra ci-dessous que traduire littéralement par «fermeture séquentielle» serait maladroit.

Soit un sous-ensemble ${\displaystyle A\subset X}$ d'un espace ${\displaystyle X}$, l'adhérence séquentielle ${\displaystyle \left[A\right]_{\mbox{seq}}}$ est l'ensemble :

${\displaystyle \left[A\right]_{\mbox{seq}}=\{x\in X\mid \exists u\in A^{\mathbb {N} }\quad u\to x\}}$

c'est-à-dire l'ensemble de tous les points ${\displaystyle x\in X}$ pour lesquels il existe une suite d'éléments de ${\displaystyle A}$ qui converge vers ${\displaystyle x}$. (C'est un sous-ensemble de l'adhérence ordinaire ${\displaystyle {\bar {A}}}$.)

Une partie est donc séquentiellement fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence séquentielle.

L'application

${\displaystyle \left[\,\cdot \,\right]_{\mbox{seq}}:A\mapsto \left[A\right]_{\mbox{seq}}}$

est appelée opérateur de fermeture séquentielle.

Elle partage des propriétés avec l'adhérence ordinaire, notamment :

• l'ensemble vide est séquentiellement fermé :${\displaystyle \left[\varnothing \right]_{\mbox{seq}}=\varnothing }$
• toute partie est incluse dans sa fermeture séquentielle :${\displaystyle \forall A\subset X,~A\subset \left[A\right]_{\mbox{seq}}}$
• la fermeture séquentielle commute avec l'union :${\displaystyle \forall A,B\subset X,~\left[A\cup B\right]_{\mbox{seq}}=\left[A\right]_{\mbox{seq}}\cup \left[B\right]_{\mbox{seq}}.}$

Cependant, contrairement à l'adhérence ordinaire et même si X est séquentiel, l'opérateur de fermeture séquentielle n'est généralement pas un opérateur de clôture mais seulement de préclôture car il n'est pas idempotent, c'est-à-dire qu'il peut exister une partie A de X telle que :

${\displaystyle \left[\left[A\right]_{\mbox{seq}}\right]_{\mbox{seq}}\neq \left[A\right]_{\mbox{seq}}.}$

Autrement dit :  l'adhérence séquentielle  d'une partie A de X n'est pas toujours séquentiellement fermée.

La plus petite partie séquentiellement fermée de X contenant A (l'adhérence de A pour la « topologie séquentielle » définie ci-dessus) s'obtient en itérant cette construction par récurrence transfinie[12] :

${\displaystyle A^{(0)}=A,~A^{(\alpha +1)}=\left[A^{(\alpha )}\right]_{\mbox{seq}}{\text{ et si }}\alpha {\text{ est un ordinal limite, }}A^{(\alpha )}=\cup _{\beta <\alpha }A^{(\beta )}.}$

On appelle ordre séquentiel de la partie A le plus petit ordinal α pour lequel A^(α) est séquentiellement fermé et ordre séquentiel de l'espace X la borne supérieure des ordres séquentiels de ses parties. Ces ordres sont au plus égaux au premier ordinal non dénombrable.

Si X est séquentiel on a donc :

${\displaystyle {\overline {A}}=A^{(\omega _{1})}.}$

Les espaces de Fréchet-Urysohn[13] – d'après Maurice Fréchet et Pavel Urysohn – sont ceux pour lesquels l'adhérence séquentielle coïncide avec l'adhérence ordinaire, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall A\subset X,~\left[A\right]_{\mbox{seq}}={\overline {A}}.}$

Autrement dit : ce sont les espaces séquentiels dont l'ordre séquentiel est égal à 1.

Un espace est de Fréchet-Urysohn si et seulement si chacun de ses sous-espaces est séquentiel.

Également, un espace X est de Fréchet-Urysohn si et seulement si, pour tout espace topologique Y, toute application f : X → Y et tout point x de X, f est continue au point x si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en ce point[14], c'est-à-dire si f(u_n) tend vers f(x) pour toute suite (u_n) qui tend vers x.

Exemples.

• Tout espace à bases dénombrables de voisinages est de Fréchet-Urysohn.
• Un exemple d'espace de Fréchet-Urysohn qui n'est pas à bases dénombrables de voisinages est le bouquet de cercles ℝ/ℤ.
• Le prototype d'espace séquentiel qui n'est pas de Fréchet-Urysohn est l'espace d'Arens[15]. Plus précisément : un espace séquentiel est de Fréchet-Urysohn si et seulement s'il ne contient pas de copie de cet espace[8] et on peut l'utiliser pour construire, pour tout ordinal α ≤ ω₁, un espace séquentiel dont l'ordre séquentiel est égal à α[16].

• (en) Ryszard Engelking, General Topology, Warsaw, PWN, 1977
• (en) Anthony Goreham, « Sequential Convergence in Topological Spaces », déc. 2004, arXiv:math/0412558

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