Droite réelle achevée

L'addition et la multiplication, définies sur l'ensemble des réels, sont partiellement étendues comme suit à la droite achevée.

Pour tout x ∈ ]–∞, +∞], x + (+∞) = +∞.

Pour tout x ∈ [–∞, +∞[, x + (–∞) = –∞.

Pour tout x ∈ ℝ :

• x × (+∞) = +∞ si x > 0 et –∞ si x < 0 ;
• x × (–∞) = –∞ si x > 0 et +∞ si x < 0 ;

Il est impossible de munir ℝ d'une structure de groupe dont (ℝ, +) soit un sous-groupe^{[réf. souhaitée]}, parce qu'on ne rajoute pas suffisamment d'éléments (voir « Indice d'un sous-groupe »). On préfère donc ne pas définir (+∞) + (–∞).

De même, dans le cadre des calculs de limites, on ne donne aucun sens aux produits ou quotients par 0 de +∞ ou –∞. Cependant, en théorie de la mesure et en analyse convexe, on adopte souvent la convention ${\displaystyle 0\times \pm \infty =0}$.

L'addition et la multiplication partiellement étendues à la droite réelle achevée sont résumées dans les tableaux suivants, les cases grisées représentant les formes indéterminées :

${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle y<0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

L'ensemble ℝ est muni d'une relation d'ordre, notée ≤, qui étend la relation d'ordre usuelle sur ℝ.

Cette relation est telle que –∞ est le plus petit élément de ℝ et +∞ le plus grand élément.

Ainsi, si ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$, avec ${\displaystyle a\leq b}$ au sens de la relation d'ordre usuelle sur ℝ, on a :

${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq +\infty .}$

Comme celle sur ℝ, la relation d'ordre usuelle sur ℝ est totale.

La droite réelle achevée est un treillis complet, c'est-à-dire que toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide ∅ (+∞ est sa borne inférieure et –∞ sa borne supérieure, comme expliqué dans le § « Exemples » de l'article sur les bornes supérieure et inférieure).

L'ordre sur ℝ induit une topologie de l'ordre : une base d'ouverts est constituée des intervalles de la forme ]a, +∞] ou [–∞, b[ ou ]a, b[ avec a et b réels. La topologie induite sur ℝ par cette topologie sur ℝ est donc la topologie de l'ordre de ℝ, c'est-à-dire sa topologie usuelle. Autrement dit : les voisinages dans ℝ d'un réel x sont les mêmes que ceux définis par la topologie usuelle sur ℝ, augmentés éventuellement de –∞ et/ou de +∞.

Tout point de ℝ possède une base de voisinages dénombrable. Par exemple :

• les intervalles ]n, +∞] avec n entier (ou entier positif) forment une base de voisinages de +∞ ;
• les intervalles [–∞, n[ avec n entier (ou entier négatif) forment une base de voisinages de –∞ ;
• pour tout réel x, les intervalles ]x – 1/n, x + 1/n[ avec n entier strictement positif forment une base de voisinages de x.

L'espace topologique ℝ est même métrisable, mais aucune distance ne s'impose naturellement plus qu'une autre ; en particulier, il n'existe sur ℝ aucune distance continue qui soit une extension de la distance usuelle sur ℝ.

Parmi les distances induisant la topologie de ℝ, on peut citer :

• ${\displaystyle d'(x,y)=|\arctan y-\arctan x|}$, en comptant ${\displaystyle \arctan \pm \infty =\pm \pi /2}$
• ${\displaystyle d'(x,y)=|\tanh y-\tanh x|}$, en comptant ${\displaystyle \tanh \pm \infty =\pm 1}$

En effet, l'application arctan (resp. tanh) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés de ℝ dans [–π/2, π/2] (resp. dans [–1, 1]), donc un homéomorphisme entre les topologies associées à ces ordres.

Ces homéomorphismes montrent aussi que ℝ est compact.