Solide de Catalan

En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui fut le premier à les décrire en 1865.

Un dodécaèdre rhombique

Les solides de Catalan sont tous convexes. Ils sont de faces uniformes mais non de sommets uniformes, en raison du fait que les duaux archimédiens sont de sommets uniformes et non de faces uniformes. À la différence des solides de Platon et des solides d'Archimède, les faces des solides de Catalan ne sont pas des polygones réguliers. En revanche, les figures de sommets des solides de Catalan sont régulières, et ont des angles dièdres égaux. De plus, deux des solides de Catalan ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique. Ceux-ci sont les duaux des deux solides d'Archimède quasi-réguliers.

Comme leurs partenaires duaux archimédiens, il existe deux solides de Catalan chiraux, ou gyroèdres : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal. Chacun d'eux a deux formes énantiomorphes. Sans compter ces versions énantiomorphes, il existe 13 solides de Catalan au total.

Nom(s)	Image	Dual (solide d'Archimède)	Faces	Arêtes	Sommets	Polygone de face	Symétrie	Angle dièdre
Triakitétraèdre		Tétraèdre tronqué	12	18	8	Triangle isocèle V3,6,6	Td	${\displaystyle \arccos {\biggl (}-{\frac {7}{18}}{\biggl )}}$ ≈ 113°
Dodécaèdre rhombique		Cuboctaèdre	12	24	14	Losange V3,4,3,4	Oh	120°
Triakioctaèdre		Cube tronqué	24	36	14	Triangle isocèle V3,8,8	Oh	${\displaystyle \arccos {\biggl (}-{\frac {3+8{\sqrt {2}}}{17}}{\biggl )}}$ ≈ 147°
Tétrakihexaèdre		Octaèdre tronqué	24	36	14	Triangle isocèle V4,6,6	Oh	${\displaystyle \arccos {\biggl (}-{\frac {4}{5}}{\biggl )}}$ ≈ 143°
Icositétraèdre trapézoïdal		Petit rhombicuboctaèdre	24	48	26	Trapèze V3,4,4,4	Oh	${\displaystyle \arccos {\biggl (}-{\frac {7+4{\sqrt {2}}}{17}}{\biggl )}}$ ≈ 138°
Hexakioctaèdre		Grand rhombicuboctaèdre	48	72	26	Triangle scalène V4,6,8	Oh	${\displaystyle \arccos {\biggl (}-{\frac {71+12{\sqrt {2}}}{97}}{\biggl )}}$ ≈ 155°
Icositétraèdre pentagonal (deux formes chirales)		Cube adouci	24	60	38	Pentagone irrégulier V3,3,3,3,4	O	≈ 136°
Triacontaèdre rhombique		Icosidodécaèdre	30	60	32	Losange V3,5,3,5	Ih	≈ 144°
Triaki-icosaèdre		Dodécaèdre tronqué	60	90	32	Triangle isocèle V3,10,10	Ih	${\displaystyle \arccos {\biggl (}-{\frac {24+15{\sqrt {5}}}{61}}{\biggl )}}$ ≈ 161°
Pentakidodécaèdre		Icosaèdre tronqué	60	90	32	Triangle isocèle V5,6,6	Ih	${\displaystyle \arccos {\biggl (}-{\frac {80+9{\sqrt {5}}}{109}}{\biggl )}}$ ≈ 157°
Hexacontaèdre trapézoïdal		Petit rhombicosidodécaèdre	60	120	62	Trapèze V3,4,5,4	Ih	≈ 154°
Hexaki icosaèdre		Grand rhombicosidodécaèdre	120	180	62	Triangle scalène V4,6,10	Ih	≈ 164°
Hexacontaèdre pentagonal (deux formes chirales)		Dodécaèdre adouci	60	150	92	Pentagone irrégulier V3,3,3,3,5	I	≈ 153°