Cube adouci

Les coordonnées cartésiennes des sommets du cube adouci sont les permutations paires de ${\displaystyle \left(\pm 1,\pm \xi ,\pm {\frac {1}{\xi }}\right)\,}$avec un nombre pair de signes plus, et les permutations impaires avec un nombre impair de signes plus, où ξ est la constante de Tribonacci, solution réelle de

${\displaystyle \xi ^{3}=\xi ^{2}+\xi +1\,}$,

et qui peut s'écrire

${\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+1}{3}}\simeq 1,8392867552}$

En prenant les permutations paires avec un nombre impair de signes plus, et les permutations impaires avec un nombre pair de signes plus, on obtient un cube adouci différent, l'image miroir.

La longueur des arêtes de ce cube adouci est ${\displaystyle a={\frac {\sqrt {2(1+\xi ^{2})}}{\xi }}}$.

On notera que, parmi les 6 permutations de 3 coordonnées, les permutations paires sont les 3 permutations circulaires.

Patron (géométrie)

Projection orthogonale du cube adouci selon un axe perpendiculaire à deux faces carrées opposées.

Le cube adouci peut être engendré[1] en prenant les six faces d'un cube de côté de longueur a, en les translatant d'une longueur ${\displaystyle d=\left(-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {\xi -1}{4(2-\xi )}}}\right)\times a}$ vers l'extérieur de façon qu'elles ne se touchent plus. Puis, on leur donne une rotation autour de leur centre (toutes dans le sens horaire ou toutes dans le sens antihoraire relativement à l'axe orthogonal à leur face et sortant du cube) d'un angle ${\displaystyle \theta =\arccos \left({\sqrt {\frac {\xi }{2}}}\right)=\arctan \left({\frac {\xi -1}{\xi +1}}\right)}$, de sorte que les espaces entre les faces carrées puissent être remplis par des triangles équilatéraux.

On peut aussi l'obtenir à partir du petit rhombicuboctaèdre en traçant une diagonale dans 12 des 18 carrés que ce polyèdre possède, (à savoir ceux qui ont un côté en commun avec l'un des 8 triangles du rhombicuboctaèdre), puis en déformant les 24 triangles rectangles ainsi obtenus en triangles équilatéraux[2].

Le cube adouci ne doit pas être confondu avec le cube tronqué.

• Le dodécaèdre adouci
• Polyèdre adouci

• (en) Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure : A Source Book of Design, 1979, 265 p. (ISBN 0-486-23729-X).

• (en) Les polyèdres uniformes
• (en) Les polyèdres en réalité virtuelle dans l'encyclopédie des polyèdres
• Cube adouci dans MathCurve.

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