Quadrilatère inscriptible

L'aire A d'un quadrilatère inscriptible en fonction de la longueur de ses côtés est donnée par la formule de Brahmagupta :

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

où s, le demi-périmètre, vaut s=a+b+c+d/2.

Parmi tous les quadrilatères ayant la même séquence de longueurs des côtés, cette surface est maximale pour le quadrilatère inscriptible.

L'aire d'un quadrilatère inscriptible de longueurs de côtés successifs a, b, c, d et d'angle γ entre les côtés b et c est aussi donnée par la formule suivante :

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(bc+ad)\sin(\gamma )}$.

Le théorème de Ptolémée dit que le produit des longueurs des deux diagonales p et q d'un quadrilatère inscriptible est égal à la somme des produits des côtés opposés ac et bd :

pq = ac + bd.

Pour tout quadrilatère convexe, les deux diagonales du quadrilatère le coupent en quatre triangles; dans un quadrilatère inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées de triangles similaires l'un à l'autre.

Pour un quadrilatère inscriptible de sommets successifs A, B, C, D, de côtés successifs a = AB, b = BC, c = CD et d = DA, et de diagonales p = AC et q = BD, on a :

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}},\quad p^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\quad {\text{et}}\quad q^{2}={\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}.}$

Si l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs e et f, et divise l'autre diagonale en segments de longueurs g et h, alors ef = gh. (Ceci est valable parce que les deux diagonales sont des cordes d'un cercle.)

Tout rectangle est un trapèze isocèle, c'est-à-dire un trapèze circonscriptible. Un cerf-volant est inscriptible si et seulement s'il a deux angles droits.

Le rayon du cercle circonscrit d'un quadrilatère inscriptible dont les longueurs des côtés sont successifs a, b, c, d et de demi-périmètre s est donné par la formule[2] :

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Il n'existe pas de quadrilatères inscriptibles dont l'aire est rationnelle et dont les longueurs des côtés sont rationnelles, inégales et forment une progression arithmétique ou géométrique[3].

Pour un quadrilatère inscriptible de longueurs de côtés successifs a, b, c, d, de demi-perimètre s, et d'angle A entre les côtés a et d, les fonctions trigonométriques de A sont données par[4] :

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}};}$

${\displaystyle \sin ^{2}A={\frac {4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ad+bc)^{2}}};}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

Quatre droites, chacune perpendiculaire à un côté d'un quadrilatère inscriptible et passant par le milieu du côté opposé, sont concourantes[5]^{p. 131}

Le théorème de Brahmagupta dit que, pour un quadrilatère inscriptible qui est également orthodiagonal (c'est-à-dire dont les diagonales sont perpendiculaires), la perpendiculaire à n'importe quel côté passant par le point d'intersection des diagonales divise l'autre côté en son milieu[5]^{p. 137}.

Si un quadrilatère inscriptible est également orthodiagonal, la distance du centre du cercle circonscrit à n'importe quel côté est égal à la moitié de la longueur du côté opposé[5]^{p. 138}.

Pour un quadrilatère inscriptible orthodiagonal, supposons que l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs p₁ et p₂ et divise l'autre diagonale en segments de longueurs q₁ et q₂. Alors[6]

${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=D^{2}}$

où D est le diamètre du cercle circonscrit. Ceci est dû au fait que les diagonales sont des cordes perpendiculaires d'un cercle. De façon équivalente, soit R = ^D⁄₂ le rayon du cercle circonscrit, la moyenne de p₁², p₂², q₁² et q₂² est R².

En outre, les équations a² + c² = b² + d² = D² impliquent que, dans un quadrilatère orthodiagonal inscriptible, la somme des carrés des côtés est égal à huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit.

Le quotient du périmètre d'un cercle par celui d'un carré inscrit est égal à π/2√2 ≈ 1,110 720 (suite A093954 de l'OEIS).