Loi uniforme continue

La densité de probabilité de la loi uniforme continue est une fonction porte sur l'intervalle [a, b] :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x\leq b,\\0&\mathrm {sinon} .\end{cases}}}$

La fonction de répartition est donnée par

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{pour }}x<a\\{\dfrac {x-a}{b-a}}&{\text{pour }}a\leq x<b\\1&{\text{pour }}x\geq b\end{cases}}}$

La fonction génératrice des moments est

${\displaystyle M_{x}=\mathbb {E} [{\rm {e}}^{tx}]={\frac {{\rm {e}}^{tb}-{\rm {e}}^{ta}}{t(b-a)}}}$

qui permet de calculer tous les moments non centrés, m_k :

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.}$

Ainsi, pour une variable aléatoire suivant cette loi, l'espérance est alors m₁ = (a + b)/2 et la variance est m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Pour n ≥ 2, le n-ième cumulant de la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1] est b_n/n, où b_n est le n-ième nombre de Bernoulli.

Soit X₁, ..., X_n un échantillon i.i.d. issu de la loi U(0, 1). Soit X_(k) la k-ième statistique d'ordre de l'échantillon. Alors, la distribution de X_(k) est une loi bêta de paramètres k et n − k + 1. L'espérance est

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{(k)}]={k \over n+1}.}$

Ce fait est utile lorsqu'on construit une droite de Henry.

Les variances sont

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

La probabilité qu'une variable uniforme tombe dans un intervalle donné est indépendante de la position de cet intervalle, mais dépend seulement de sa longueur, à condition que cet intervalle soit inclus dans le support de la loi. Ainsi, si X ≈ U(a, b) et que [x, x+d] est un sous-intervalle de [a,b], avec d > 0 fixé, alors

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!}$

qui est indépendant de x. Ce fait motive la dénomination de cette loi.

Il peut sembler surprenant que les variables ${\displaystyle \{V_{1}+V_{2}\}}$ et ${\displaystyle \{V_{1}+V_{2}+V_{3}\},}$ par exemple, soient indépendantes, alors qu'elles dépendent toutes deux de manière cruciale des variables ${\displaystyle V_{1}}$ et ${\displaystyle V_{2}.}$ C'est une conséquence particulière de la propriété d'invariance de la loi uniforme : par exemple, étant la mesure de Haar de ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Z} ,}$ elle est idempotente pour la convolution.

La plupart des langages de programmation fournissent un générateur de pseudo-nombres aléatoires, dont la distribution est effectivement la loi uniforme standard.

Si u est U(0, 1), alors v = a + (b − a)u suit la loi U(a, b).

D'après le théorème cité plus haut, la loi uniforme permet en théorie d'obtenir des tirages de toute loi continue à densité. Il suffit pour cela d'inverser la Fonction de répartition de cette loi, et de l'appliquer à des tirages de la loi uniforme standard. Malheureusement, dans bien des cas pratiques, on ne dispose pas d'une expression analytique pour la fonction de répartition; on peut alors utiliser une inversion numérique (coûteuse en calculs) ou des méthodes concurrentes, comme la Méthode de rejet.

Le plus important exemple d'échec de la méthode de la transformée inverse est la Loi normale. Toutefois, la Méthode de Box-Muller fournit une méthode pratique pour transformer un échantillon uniforme en un échantillon normal, et ce de manière exacte[3].

Des mathématiciens comme Luc Devroye ou Richard P. Stanley ont popularisé l'utilisation de la loi uniforme sur [0, 1] pour l'étude des permutations aléatoires (tailles des cycles, nombres eulériens, analyse d'algorithmes de tri comme le tri rapide, par exemple).

Soit ${\displaystyle U=(U_{1},U_{2},\dots ,U_{n})}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0, 1], définies sur un espace probabilisé ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ (par exemple, définies sur ${\displaystyle \Omega =[0,1]^{n}}$ muni de sa tribu des boréliens et de sa mesure de Lebesgue, par ${\displaystyle U_{k}(\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{n})\ =\ \omega _{k},}$ ou, de manière équivalente, par ${\displaystyle U(\omega )=\omega .}$ Pour tout entier k compris entre 1 et n, posons

${\displaystyle \sigma (k,\omega )\ =\ \mathrm {Card} \left\{i\ \mathrm {tels~que} \ 1\leq i\leq n,\ \mathrm {et~tels~que} \ U_{i}(\omega )\leq U_{k}(\omega )\right\}.}$

Ainsi, ${\displaystyle \sigma (k,\omega )}$ s'interprète comme le rang de ${\displaystyle U_{k}(\omega )}$ dans l'échantillon, une fois celui-ci rangé dans l'ordre croissant.

Démonstration

Pour une permutation τ fixée, notons

${\displaystyle A_{\tau }=\ \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{\tau (1)}<x_{\tau (2)}<\dots <x_{\tau (n)}\right\},}$

et posons

${\displaystyle \tau .x=\ (x_{\tau (1)},x_{\tau (2)},\dots ,x_{\tau (n)}).}$

Alors

${\displaystyle \{x\in A_{\tau }\}\ \Leftrightarrow \ \{\tau .x\in A_{\mathrm {Id} }\}.}$

Par ailleurs, de manière évidente, si ${\displaystyle U(\omega )\in A_{\tau },}$ alors

${\displaystyle \left\{\forall k\ \mathrm {tel~que} \ 1\leq k\leq n,\quad \sigma (\tau (k),\omega )\ =\ k\right\}\ \mathrm {ou~encore} \ \{\sigma (.,\omega )=\tau ^{-1}\}.}$

Comme

${\displaystyle \bigcup _{\tau \in {\mathfrak {S}}_{n}}A_{\tau }\ =\ \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,\mathrm {les} \ x_{i}\ \mathrm {sont~tous~diff{\acute {e}}rents} \right\},}$

il en découle que

${\displaystyle B=\Omega \backslash \left(\bigcup _{\tau \in {\mathfrak {S}}_{n}}A_{\tau }\right)\ =\ \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{i}=x_{j}\right\}.}$

Si ${\displaystyle U(\omega )\in B,}$ il existe donc un couple i < j tel que ${\displaystyle U_{i}(\omega )=U_{j}(\omega ),}$ et, par suite, ${\displaystyle \sigma (i,\omega )=\sigma (j,\omega ).}$ Ainsi σ(., ω) n'est pas une permutation. Finalement, comme B et les ensembles de type ${\displaystyle A_{\rho }}$ forment une partition de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ il en découle que pour toute permutation τ,

${\displaystyle \left\{U(\omega )\notin A_{\tau }\right\}\ \Rightarrow \ \{\sigma (.,\omega )\neq \tau ^{-1}\},}$

et par conséquent

${\displaystyle \mathbb {P} \left(U\in A_{\tau }\right)\ =\ \mathbb {P} \left(\sigma =\tau ^{-1}\right).}$

Comme les composantes du vecteur aléatoire ${\displaystyle U=(U_{1},U_{2},\dots ,U_{n})}$ sont des variables aléatoires indépendantes à densité de densités respectives notées ${\displaystyle f_{i},\quad 1\leq i\leq n,}$ on sait que le vecteur aléatoire U possède lui-même une densité f, définie par

${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}f_{i}(x_{i}).}$

De même, une densité de probabilité du vecteur aléatoire τ.U est g, définie par :

${\displaystyle g(x)=\prod _{i=1}^{n}f_{\tau (i)}(x_{i}).}$

Dans le cas, comme ici, où les composantes d'un vecteur aléatoire sont i.i.d., on peut choisir les densités de probabilités ${\displaystyle f_{i}}$ toutes égales. Ainsi, les densités f et g des vecteurs aléatoires U et τ.U sont égales : les vecteurs aléatoires U et τ.U ont donc même loi. Par conséquent, pour toute permutation τ,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(U\in A_{\mathrm {Id} }\right)\ =\ \mathbb {P} \left(\tau .U\in A_{\mathrm {Id} }\right)\ =\ \mathbb {P} \left(U\in A_{\tau }\right)\ =\ \mathbb {P} \left(\sigma =\tau ^{-1}\right).}$

Par ailleurs,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(U\in B\right)\ =\ \mathbb {P} \left(\exists i<j\ \mathrm {tels~que} \ U_{i}=U_{j}\right)\ \leq \ \sum _{1\leq i<j\leq n}\mathbb {P} \left(U_{i}=U_{j}\right)\ =\ 0.}$

En effet l'hyperplan ${\displaystyle \{x_{i}=x_{j}\}}$ est de mesure de Lebesgue nulle, et la loi de probabilité de U est à densité donc absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, donc

${\displaystyle \left\{\lambda (\{x_{i}=x_{j}\})=0\right\}\ \Rightarrow \ \left\{0=\mathbb {P} _{U}(\{x_{i}=x_{j}\})(=\mathbb {P} \left(U_{i}=U_{j}\right))\right\}.}$

Finalement

${\displaystyle {\begin{aligned}n!\,\mathbb {P} \left(\sigma =\tau \right)&=n!\,\mathbb {P} \left(U\in A_{\tau ^{-1}}\right)\ =\ n!\,\mathbb {P} \left(U\in A_{\mathrm {Id} }\right)\\&=\sum _{\rho \in {\mathfrak {S}}_{n}}\mathbb {P} \left(U\in A_{\rho }\right)\\&=\mathbb {P} \left(U\in B\right)+\sum _{\rho \in {\mathfrak {S}}_{n}}\mathbb {P} \left(U\in A_{\rho }\right)\\&=1,\end{aligned}}}$

où la dernière égalité utilise le fait que B et les ensembles ${\displaystyle A_{\rho }}$ forment une partition de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

La proposition ci-dessus reste vérifiée si la distribution de probabilité commune aux variables ${\displaystyle U_{i}}$ possède une densité, quelle qu'elle soit, et non pas seulement pour la densité uniforme. On peut même se contenter de variables i.i.d. dont la loi est diffuse (sans atomes) modulo une modification mineure de la démonstration. Cependant la loi uniforme est particulièrement commode pour diverses applications.

Soit ${\displaystyle X_{n}(\omega )}$ le nombre de descentes d'une permutation ${\displaystyle \sigma (\omega )}$ tirée au hasard uniformément dans ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}.}$ Bien sûr,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{n}=k\right)&={\frac {\mathrm {nombre~de~cas~favorables} }{\mathrm {nombre~de~cas~possibles} }}\\&={\frac {A(n,k)}{n!}},\end{aligned}}}$

où A(n,k) désigne le nombre de permutations de ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ possédant exactement k descentes. A(n,k) est appelé nombre eulérien. Posons

${\displaystyle S_{n}=U_{1}+U_{2}+\dots +U_{n}.}$

On a alors[4]

Théorème (S. Tanny, 1973) — De manière équivalente,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{n}=k\right)\ =\ \mathbb {P} \left(\lfloor S_{n}\rfloor =k\right)\ =\ \mathbb {P} \left(k\leq S_{n}<k+1\right),}$

ou bien

${\displaystyle A(n,k)\ =\ n!\ \mathbb {P} \left(k\leq S_{n}<k+1\right).}$

Démonstration

On suppose la suite ${\displaystyle U=(U_{1},U_{2},\dots ,U_{n})}$ construite à l'aide d'une suite ${\displaystyle V=(V_{1},V_{2},\dots ,V_{n})}$ de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1], via la relation ${\displaystyle U_{k}=\{V_{1}+V_{2}+\dots +V_{k}\}.}$ On sait alors, grâce à des considérations d'invariance (voir plus haut), que ${\displaystyle U=(U_{1},U_{2},\dots ,U_{n})}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [0, 1]. On construit alors une permutation aléatoire uniforme σ(., ω) à l'aide de la suite U, comme indiqué à la section ci-dessus : il y a descente au rang i pour σ(., ω) si σ(i, ω) > σ(i + 1, ω) ou, de manière équivalente, si ${\displaystyle U_{i}(\omega )>U_{i+1}(\omega ).}$ Parallèlement, on dessine, sur le cercle trigonométrique, les points ${\displaystyle M_{k}(\omega )}$ ayant pour affixes ${\displaystyle {\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi U_{k}(\omega )}.}$ On entreprend alors un voyage sur le cercle unité, consistant à parcourir les points ${\displaystyle M_{1}(\omega ),}$ puis ${\displaystyle M_{2}(\omega ),}$ puis… , puis ${\displaystyle M_{n}(\omega ),}$ dans cet ordre, en tournant toujours dans le sens trigonométrique, et en partant du point A d'affixe 1 (de coordonnées cartésiennes (0, 1)). La longueur totale du chemin ainsi parcouru est alors

${\displaystyle 2\pi \ \left(V_{1}+V_{2}+\dots +V_{n}\right).}$

Par ailleurs, il y a descente au rang i pour σ(., ω) si et seulement si l'étape du voyage ci-dessus allant du point ${\displaystyle M_{i}(\omega )}$ au point ${\displaystyle M_{i+1}(\omega )}$ traverse A. Donc le nombre de descentes de σ(., ω) est le nombre de traversées du point A, qui est aussi le nombre de tours complets du cercle unité effectués lors du voyage de A à ${\displaystyle M_{n}(\omega ).}$ Au vu du calcul donnant la longueur totale du chemin ainsi parcouru, voir ci-dessus, le nombre de tours complets s'écrit aussi :

${\displaystyle \left\lfloor V_{1}(\omega )+V_{2}(\omega )+\dots +V_{n}(\omega )\right\rfloor .}$

Ainsi le nombre de descentes de σ(., ω) est égal à ${\displaystyle \left\lfloor V_{1}(\omega )+V_{2}(\omega )+\dots +V_{n}(\omega )\right\rfloor .}$ Le nombre de descentes de σ a donc même loi que ${\displaystyle \left\lfloor S_{n}\right\rfloor .}$

Il en découle immédiatement un théorème central limite pour ${\displaystyle X_{n},}$ via le théorème de Slutsky.