Droite de Henry

Si X est une variable gaussienne de moyenne x et de variance σ², et si N est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

${\displaystyle \mathbb {P} (\mathrm {X} <x)=\mathrm {P} \left({\frac {\mathrm {X} -{\overline {x}}}{\sigma }}<{\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}\right)=\mathrm {P} (\mathrm {N} <t)=\Phi (t)}$, avec ${\displaystyle t={\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}}$

(on note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur x_i de la variable X, on peut, à l'aide d'une table de la fonction Φ :

• calculer P(X < x_i) ;
• en déduire t_i tel que Φ(t_i) = P(X < x_i).

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées (x_i ; t_i) sont alignés sur la droite d'équation

${\displaystyle t={\frac {x-{\overline {x}}}{\sigma }}}$.

On compare donc les valeurs des quantiles de la loi empirique (x_i) aux quantiles de la loi normale centrée réduite t_i.

Cette méthode peut également se généraliser à d'autres distributions en comparant là encore les quantiles théoriques aux quantiles empiriques ; on parle parfois de « tracé quantile-quantile ».

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

• 10 % des candidats ont obtenu moins de 4
• 30 % des candidats ont obtenu moins de 8
• 60 % des candidats ont obtenu moins de 12
• 80 % des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît donc 4 valeurs x_i, et, pour ces 4 valeurs, on connaît P(X < x_i).

En utilisant la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les t_i correspondants :

Il suffit alors de tracer les points de coordonnées (x_i ; t_i).

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le coefficient directeur 1/σ est (0,842 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type σ de 12/2,12 = 5,7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres (m, σ²) avec m = 11 et σ = 5,7.

Dans le principe décrit précédemment, il est nécessaire de rechercher les t_i correspondant à chaque P(x < x_i), ce qui demande une lecture à l'envers de la table de la loi normale. Il est possible aussi de travailler sur un papier dont l'échelle en ordonnée utilise déjà cette conversion. En ordonnée, apparaissent deux graduations :

• à droite, une graduation arithmétique et
• à gauche les valeurs de Φ(t) correspondantes.

On place alors les points grâce à l'échelle de gauche.

Cette représentation graphique fournit très naturellement la moyenne qui correspond, pour une loi normale, à la médiane c'est-à-dire à l'abscisse du point d'ordonnée 50. Mais elle fournit aussi assez facilement l'écart type en utilisant les intervalles de confiance. Dans une distribution normale, de moyenne m et d'écart-type σ l'intervalle [m - σ ; m + σ] regroupe 68 % de la population. Il y a donc 16 % des valeurs inférieures à m - σ et 84 % des valeurs inférieures à m + σ. On lit donc

• la valeur m - σ comme l'abscisse du point d'ordonnée 16 et
• la valeur m + σ comme celle du point d'ordonnée 84.

L'écart entre ces deux abscisses permet de déterminer la valeur 2σ.

Ainsi, dans le graphique ci-dessous, la moyenne est d'environ 11 et l'écart-type est de (16,7 - 5,2)/2 soit environ 5,7.

Utilisation d'un papier gausso-arithmétique pour tracer une droite de Henry