Nombre eulérien

Euler, Institutiones calculi differentialis, 2^e partie, 1755

En 1755, dans son livre Institutiones calculi differentialis, Leonhard Euler a étudié les polynômes α₁(x) = 1,α₂(x) = x + 1, α₃(x) = x² + 4x + 1, etc. (voir le facsimilé ci-contre). Ces polynômes sont une forme décalée de nos polynômes eulériens A_n(x).

Par analogie avec la notation des coefficients binomiaux ${\displaystyle \left({n \atop k}\right)}$ et avec celle des nombres de Stirling ${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$ et ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\},}$ la notation ${\displaystyle \left\langle {n \atop m}\right\rangle }$ fut proposée par Donald Knuth en 1968 dans The Art of Computer Programming.

Pour un n donné  > 0, l'indice m de A(n, m) peut aller de 0 à n − 1. Pour n fixé, il y a une seule permutation sans montée, la permutation descendante (n, n − 1, n − 2, ..., 1). Il y a également une seule permutation avec n − 1 montées, la permutation identique (ou montante) (1, 2, 3, ..., n). Ainsi, A(n, 0) = A(n, n − 1) = 1 pour tout n.

Renverser une permutation ayant m montées crée une autre permutation ayant n − m − 1 montées ; ainsi

A(n, m) = A(n, n − m − 1).

Les valeurs de A(n, m) peuvent être calculées « à la main » pour de petites valeurs de n et m. Par exemple

n	m	Permutations	A(n, m)
1	0	(1)	A(1,0) = 1
2	0	(2, 1)	A(2,0) = 1
	1	(1, 2)	A(2,1) = 1
3	0	(3, 2, 1)	A(3,0) = 1
	1	(1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2)	A(3,1) = 4
	2	(1, 2, 3)	A(3,2) = 1

Pour des valeurs plus grandes de n, A(n, m) peut être calculé à l'aide de la relation de récurrence

${\displaystyle A(n,m)=(n-m)A(n-1,m-1)+(m+1)A(n-1,m).}$[1]

Par exemple

${\displaystyle A(4,1)=(4-1)A(3,0)+(1+1)A(3,1)=3\times 1+2\times 4=11.}$

Les valeurs de A(n, m) pour 0 ≤ n ≤ 9 (cf. la suite A008292 de l'OEIS) sont :

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1
2	1	1
3	1	4	1
4	1	11	11	1
5	1	26	66	26	1
6	1	57	302	302	57	1
7	1	120	1191	2416	1191	120	1
8	1	247	4293	15619	15619	4293	247	1
9	1	502	14608	88234	156190	88234	14608	502	1

Ce tableau triangulaire s'appelle le triangle d'Euler, et possède certaines des caractéristiques du triangle de Pascal. La somme des termes de la ligne d'indice n est le nombre des permutations de n objets, soit la factorielle n!.

D'après leur définition combinatoire, la somme des nombres eulériens pour une valeur donnée de n est le nombre total de permutations des entiers de 1 à n, et donc

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}A(n,m)=n!.}$

La somme alternée des nombres eulériens pour une valeur donnée de n est liée au nombre de Bernoulli B_n+1

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}(-1)^{m}A(n,m)={\frac {2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}}.}$

Voici d'autres formules de sommation :

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}(-1)^{m}{\frac {A(n,m)}{\binom {n-1}{m}}}=0,}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n-1}(-1)^{m}{\frac {A(n,m)}{\binom {n}{m}}}=(n+1)B_{n},}$

où B_n est le n-ème nombre de Bernoulli.

• Les nombres eulériens apparaissent dans la fonction génératrice de la suite des puissances n-èmes

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{n}x^{k}={\frac {\sum _{m=0}^{n-1}A(n,m)x^{m+1}}{(1-x)^{n+1}}}={\frac {xA_{n}(x)}{(1-x)^{n+1}}}.}$

• L’identité de Worpitzky[2]^,[1] exprime ${\displaystyle x^{n}}$ comme combinaison linéaire de nombres eulériens avec des coefficients binomiaux :

${\displaystyle x^{n}=\sum _{m=0}^{n-1}A(n,m){\binom {x+m}{n}}.}$

• Une autre identité remarquable est obtenue par la transformation :

${\displaystyle e^{k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{n!}}}$

${\displaystyle (x^{k})(e^{k})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{k})(k^{n})}{n!}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(x^{k})(e^{k})=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{k})(k^{n})}{n!}}}$

Pour ${\displaystyle 0\leqslant x<{1}/{e}}$, les termes de gauche forment une série géométrique convergente, et les termes de droite sont positifs ; on peut donc interchanger les sommations. Utilisant l'identité précédente, on obtient :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(xe)^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x^{k})(k^{n})}{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {ex}{1-ex}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{k})(k^{n})}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sum _{m=0}^{n}A(n,m)x^{m+1}}{n!(1-x)^{n+1}}}}$

En définitive, pour ${\displaystyle 0\leqslant x<{1}/{e}}$, on a

${\displaystyle {\frac {e}{1-ex}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sum _{m=0}^{n}A(n,m)x^{m}}{n!(1-x)^{n+1}}}.}$

La somme du numérateur de droite est une somme de polynômes d'Euler.

• Une identité remarquable[3] probabiliste permet de démontrer simplement un théorème central limite pour le nombre de montées d'une permutation tirée au hasard. Si ${\displaystyle \scriptstyle \ (U_{1},U_{2},\dots ,U_{n})\ }$ est une suite de variables aléatoires i.i.d. uniformes sur [0,1] et si

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}U_{k},\quad X_{n}=\left\lfloor S_{n}\right\rfloor ,}$

alors

${\displaystyle \mathbb {P} \left(k\leqslant S_{n}<k+1\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=k\right)\ ={\frac {A(n,k)}{n!}}.}$

Le nombre des permutations du multiensemble ${\displaystyle \{1,1,2,2,\cdots ,n,n\}}$ telles que pour chaque k, tous les nombres entre les deux occurrences de k sont plus grands que k, est le produit des entiers impairs jusqu'à 2n-1 (appelé parfois la double factorielle de (2n-1), et noté (2n-1)!!) ; on a ${\displaystyle (2n-1)!!=\prod _{k=1}^{n}(2k-1)={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}}$.

Le nombre eulérien de seconde espèce, noté ${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle ,}$ dénombre celles de ces permutations ayant exactement m montées. Par exemple, pour n = 3, il y a 3!! = 15 permutations de ce type, une sans montées, 8 avec une montée, et 6 avec deux montées:

${\displaystyle 332211,\;}$

${\displaystyle 221133,\;221331,\;223311,\;233211,\;113322,\;133221,\;331122,\;331221,}$

${\displaystyle 112233,\;122133,\;112332,\;123321,\;133122,\;122331.}$

À partir de cette définition, on montre facilement que les nombres ${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle }$ vérifient la récurrence :

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle =(2n-m-1)\left\langle \!\!\left\langle {{n-1} \atop {m-1}}\right\rangle \!\!\right\rangle +(m+1)\left\langle \!\!\left\langle {{n-1} \atop {m}}\right\rangle \!\!\right\rangle ,}$

avec les conditions initiales :

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {0 \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle =0\ }$ pour m > 0 et ${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {0 \atop 0}\right\rangle \!\!\right\rangle =1}$.

On leur fait correspondre les polynômes eulériens de seconde espèce, notés ici ${\displaystyle P_{n}}$ :

${\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{n=0}^{n}\left\langle \!\!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\!\right\rangle x^{m}}$ ;

des relations de récurrence précédentes, on déduit que les ${\displaystyle P_{n}}$ vérifient la relation :

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(2nx+1)P_{n}(x)-x(x-1)P_{n}^{\prime }(x)}$, avec ${\displaystyle P_{0}(x)=1.}$

On peut la réécrire :

${\displaystyle (x-1)^{-2n-2}P_{n+1}(x)=\left(x(1-x)^{-2n-1}P_{n}(x)\right)^{\prime }}$ ;

ainsi la fonction rationnelle

${\displaystyle u_{n}(x):=(x-1)^{-2n}P_{n}(x)}$

satisfait :

${\displaystyle u_{n+1}=\left({\frac {x}{1-x}}u_{n}\right)^{\prime }\quad ,u_{0}=1,}$

d'où l'on tire les polynômes sous la forme P_n(x)=(1-x)²ⁿu_n(x); puis les nombres eulériens de seconde espèce qui sont leurs coefficients.

Voici quelques valeurs de ces nombres ( suite A008517 de l'OEIS) :

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	1
2	1	2
3	1	8	6
4	1	22	58	24
5	1	52	328	444	120
6	1	114	1452	4400	3708	720
7	1	240	5610	32120	58140	33984	5040
8	1	494	19950	195800	644020	785304	341136	40320
9	1	1004	67260	1062500	5765500	12440064	11026296	3733920	362880

La somme de la n-ème ligne est P_n(1) = (2n-1)!!.

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• Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler

• (en) Eulerian Polynomials sur le wiki de l'OEIS
• (en) Eulerian Numbers sur MathPages
• (en) Eric W. Weisstein, « Eulerian Number », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Euler's Number Triangle », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Worpitzky's Identity », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Second-Order Eulerian Triangle », sur MathWorld
• (en) Triangle d'Euler sur la page de Gottfried Helms, de l'université de Cassel

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