Fonction thêta

La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. C'est la somme totale de la série

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz),}$

qui n'est définie que lorsque z décrit le plan complexe et τ le demi-plan de Poincaré des complexes de partie imaginaire strictement positive.

Cette fonction est périodique en la variable z, de période 1. Autrement dit elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante :

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$

Cela se vérifie directement, car à τ fixé, la série définissant la fonction thêta a la forme d'une série de Fourier.

La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par τ et satisfait l'équation fonctionnelle

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau$ ;\tau )=\exp(-\pi {\rm {i}}b^{2}\tau -2\pi {\rm {i}}bz)\vartheta (z;\tau )}

où a et b sont des entiers.

Fonction Theta ϑ₁ pour différentes valeurs de q = e^iπτ. Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par τ.

Fonction Theta ϑ₁ pour différentes valeurs de q = e^iπτ. Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par τ.

Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire

${\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+1/2;\tau ),}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=\exp(\pi {\rm {i}}\tau /4+\pi {\rm {i}}z)\vartheta (z+\tau /2;\tau ),}$

${\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=\exp(\pi {\rm {i}}\tau /4+\pi {\rm {i}}(z+1/2))\vartheta (z+(\tau +1)/2;\tau ).}$

Cette notation suit celle de Riemann et de Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en termes du nome q = exp(πτ) plutôt que τ, et thêta appelé θ₃, ϑ₀₁ nommé θ₀, ϑ₁₀ nommé θ₂ et ϑ₁₁ appelé –θ₁.

Si nous fixons z = 0 dans les fonctions thêta précédentes, nous obtenons quatre fonctions de τ seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir une variété de formes modulaires, et pour paramétrer certaines courbes ; en particulier l'identité de Jacobi est

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}$

laquelle est la courbe de Fermat de degré quatre.

Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta transforment sous le groupe modulaire. Soit

${\displaystyle \alpha =(-{\rm {i}}\tau )^{1/2}\exp \left({{\rm {i}}\pi \tau z^{2}}\right)}$

Alors[1]

${\displaystyle \vartheta _{1}(z;-1/\tau )=-{\rm {i}}\alpha \vartheta _{1}(\tau z;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{2}(z;-1/\tau )=\alpha \vartheta _{4}(\tau z;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{3}(z;-1/\tau )=\alpha \vartheta _{3}(\tau z;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(z;-1/\tau )=\alpha \vartheta _{2}(\tau z;\tau )}$

La fonction thêta de Jacobi peut être exprimée comme un produit, à travers le théorème du triple produit de Jacobi :

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp 2{\rm {i}}\pi \tau m\right)\left(1+\exp {\rm {i}}\pi \left[(2m-1)\tau +2z\right]\right)\left(1+\exp {\rm {i}}\pi \left[(2m-1)\tau -2z\right]\right)}$

Les fonctions auxiliaires ont les expressions, avec q = exp(iπτ) :

${\displaystyle \vartheta _{1}(z;\tau )=2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})(1-2q^{2n}\cos(2\pi z)+q^{4n})}$

${\displaystyle \vartheta _{2}(z;\tau )=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})(1+2q^{2n}\cos(2\pi z)+q^{4n})}$

${\displaystyle \vartheta _{3}(z;\tau )=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})(1+2q^{2n-1}\cos(2\pi z)+q^{4n-2})}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(z;\tau )=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})(1-2q^{2n-1}\cos(2\pi z)+q^{4n-2})}$

Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :

${\displaystyle \vartheta _{1}(z;\tau )=-{\rm {e}}^{{\rm {i}}z+{\rm {i}}\pi \tau /4}\int _{{\rm {i}}-\infty }^{{\rm {i}}+\infty }{{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}\mathrm {d} u}$

${\displaystyle \vartheta _{2}(z;\tau )=-{\rm {i}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}z+{\rm {i}}\pi \tau /4}\int _{{\rm {i}}-\infty }^{{\rm {i}}+\infty }{{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}\mathrm {d} u}$

${\displaystyle \vartheta _{3}(z;\tau )=-{\rm {i}}\int _{{\rm {i}}-\infty }^{{\rm {i}}+\infty }{{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}\mathrm {d} u}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(z;\tau )=-{\rm {i}}\int _{{\rm {i}}-\infty }^{{\rm {i}}+\infty }{{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}\mathrm {d} u.}$

Notons qu'en utilisant la formule sommatoire de Poisson et que e^–x2/2 est sa propre transformée de Fourier on obtient

${\displaystyle \vartheta (0;-1/\tau )=(-{\rm {i}}\tau )^{1/2}\vartheta (0;\tau ).}$

Cette relation fut utilisée par Riemann pour démontrer l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, signifiant l'intégrale

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-s/2}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;{\rm {i}}t)-1\right]t^{s/2}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}$

dont on peut montrer qu'elle est invariante par substitution de s par 1 – s. L'intégrale correspondante pour z différent de zéro est donnée dans l'article sur la fonction zêta de Hurwitz.

La fonction thêta fut utilisée par Jacobi pour construire (dans une forme adaptée pour un calcul facile) ses fonctions elliptiques comme des quotients des quatre fonctions thêta précédentes, et il aurait pu l'utiliser pour construire aussi les fonctions elliptiques de Weierstrass, puisque

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\frac {\partial ^{2}(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))}{\partial z^{2}}}+c}$

où la constante c est définie comme le développement de Laurent de ${\displaystyle \wp (z)}$ à z = 0 ne possédant aucun terme constant.

Avec η la fonction êta de Dedekind, on a l'égalité

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}}}$.

La fonction thêta de Jacobi est l'unique solution de l'équation de la chaleur à une dimension avec des conditions aux limites périodiques au temps zéro. Ceci est plus facile à voir en prenant z = x réel, et en prenant τ = it avec t réel et positif. Alors, nous pouvons écrire

${\displaystyle \vartheta (x,{\rm {i}}t)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)}$

qui résout l'équation de la chaleur

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,{\rm {i}}t)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,{\rm {i}}t).}$

Le fait que cette solution soit unique peut être vu en notant qu'à t = 0, la fonction thêta devient le peigne de Dirac :

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,{\rm {i}}t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}$

où δ est la fonction δ de Dirac. Ainsi, la solution générale peut être précisée en juxtaposant la condition aux limites (périodique) à t = 0 avec la fonction thêta.

La fonction thêta de Jacobi peut être pensée comme le prolongement d'une représentation du groupe de Heisenberg en mécanique quantique, quelquefois appelée la représentation thêta (en). Ceci peut être vu en construisant le groupe explicitement. Soit f(z) une fonction holomorphe, soit a et b des nombres réels, et fixons une valeur de τ. Alors, définissons les opérateurs S_a et T_b tels que

${\displaystyle (S_{a}f)(z)=f(z+a)}$

et

${\displaystyle (T_{b}f)(z)=\exp({\rm {i}}\pi b^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}bz)f(z+b\tau )}$

Notons que

${\displaystyle S_{a_{1}}(S_{a_{2}}f)=(S_{a_{1}}\circ S_{a_{2}})f=S_{a_{1}+a_{2}}f}$

et

${\displaystyle T_{b_{1}}(T_{b_{2}}f)=(T_{b_{1}}\circ T_{b_{2}})f=T_{b_{1}+b_{2}}f,}$

mais S et T ne commutent pas :

${\displaystyle S_{a}\circ T_{b}=\exp(2\pi {\rm {i}}ab)\;T_{b}\circ S_{a}.}$

Ainsi, nous voyons que S et T ensemble avec une phase unitaire forme un groupe de Lie nilpotent, le groupe de Heisenberg (réel continu), paramétrable par ${\displaystyle H=U(1)\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ où U(1) est le groupe unitaire. Un élément de groupe général U (λ, a, b) ∈ H alors agit sur une fonction holomorphe f(z) comme

${\displaystyle U(\lambda ,a,b)\;f(z)=\lambda (S_{a}\circ T_{b}f)(z)=\lambda \exp({\rm {i}}\pi b^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}bz)f(z+a+b\tau )}$

où λ ∈ U(1). Notons que U(1) = Z(H) est à la fois le centre de H et le groupe dérivé [H, H].

Définissons le sous-groupe Γ ⊂ H comme

${\displaystyle \Gamma =\{U(1,a,b)\in H:a,b\in \mathbb {Z} \}.}$

Alors, nous voyons que la fonction thêta de Jacobi est une fonction entière de z qui est invariante sous Γ, et l'on peut montrer que la fonction thêta de Jacobi est une telle fonction unique.

La représentation thêta ci-dessus du groupe d'Heisenberg peut être reliée à la représentation canonique de Weyl du groupe d'Heisenberg comme suit. Fixons une valeur pour τ et définissons une norme sur les fonctions entières du plan complexe comme

${\displaystyle \Vert f\Vert ^{2}=\int _{\mathbb {C} }\exp \left({\frac {-2\pi y^{2}}{\Im \tau }}\right)|f(x+iy)|^{2}\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y}$

Soit ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ l'ensemble des fonctions entières f de norme finie. Notons que ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ est un espace hilbertien, que ${\displaystyle U(\lambda ,a,b)}$ est unitaire sur ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$, et que ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ est irréductible sous cette action. Alors ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ et L²(R) sont isomorphes comme H-modules (en), où H agit sur ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ comme

${\displaystyle U(\lambda ,a,b)\;\psi (x)=\lambda \exp(2\pi {\rm {i}}bx)\psi (x+a)}$

pour ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$.

Voir aussi le théorème de Stone-von Neumann (en) pour plus de développements sur ces idées.

Si F est une forme quadratique de n variables, alors la fonction thêta associée avec F est

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi {\rm {i}}zF(m))}$

avec la somme s'étendant sur le réseau des entiers ℤⁿ. Cette fonction thêta est une forme modulaire de poids n/2 (sur un sous-groupe défini de manière approprié) du groupe modulaire. Dans le développement de Fourier,

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi {\rm {i}}kz),}$

les nombres R_F(k) sont appelés les nombres de représentation de la forme.

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