Demi-plan de Poincaré

On considère le demi-plan supérieur :

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}=\left\{z=x+iy~|~y>0\right\}.}$

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {a^{2}\,\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\right)}{y^{2}}}.}$

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

${\displaystyle R=-{\frac {1}{a^{2}}}.}$

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.

Les géodésiques[1] sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : x = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses  : y = 0 (en bleu) :

Le groupe de matrices GL₂⁺(R) agit sur cet espace, par homographies[2]. Plus précisément, soit g un élément de GL₂⁺(R) :

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \mathrm {det} (g)=ad-bc>0.}$

Son action sur un point z du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :

${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$