Partie imaginaire

En mathématiques, la partie imaginaire d’un nombre complexe ${\displaystyle z}$ qui s'écrit sous la forme ${\displaystyle z=x+iy}$ (où ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont des réels) est ${\displaystyle y}$. Autrement dit, si le nombre complexe ${\displaystyle z}$ a pour image le point de coordonnées ${\displaystyle (x,y)}$ dans le plan, alors sa partie imaginaire est ${\displaystyle y}$. Il s'agit d'un nombre réel.

Symbole I en écriture Fraktur.

Une illustration du plan complexe. La partie imaginaire d'un nombre complexe ${\displaystyle z=x+iy}$ est ${\displaystyle y}$.

La partie imaginaire est notée Im{z} ou ${\displaystyle \Im }${z}, où ${\displaystyle \Im }$ est un I capital en caractères Fraktur.

En utilisant la notion de conjugué ${\displaystyle {\bar {z}}}$ d'un nombre complexe ${\displaystyle z}$, la partie imaginaire de ${\displaystyle z}$ est égale à ${\displaystyle z-{\bar {z}} \over 2i}$.

Pour un nombre complexe sous forme polaire, ${\displaystyle z=(r,\theta )}$, les coordonnées cartésiennes (algébriques) sont ${\displaystyle z=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$, ou de façon équivalente, ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$. Il découle de la formule d'Euler que ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, et donc que la partie imaginaire de ${\displaystyle re^{i\theta }}$ est ${\displaystyle r\sin \theta }$.