Algèbre extérieure

L'algèbre extérieure est utilisée en mathématiques dans la théorie des déterminants qui permettent de calculer les volumes et les surfaces. L'algèbre extérieure permet en particulier de définir les formes différentielles sur une variété et les champs de multivecteurs. Les formes différentielles sont particulièrement utiles en topologie algébrique et surtout en géométrie différentielle et en physique mathématique. En géométrie algébrique, l'algèbre extérieure intervient dans l'étude des faisceaux localement libres. Ces applications sont à peine abordées dans cet article qui se veut avant tout introductif.

On peut donner une interprétation géométrique des k-vecteurs : le 2-vecteur ${\displaystyle u\wedge v}$ représente l'ensemble des parallélogrammes orientés, contenu dans le même plan que celui de côtés u et v, et ayant même aire et même orientation que ce dernier. Le 3-vecteur ${\displaystyle u\wedge v\wedge w}$ représente l'ensemble des parallélépipèdes orientés, contenu dans le même espace de dimension 3 que le parallélépipède de côtés u, v, et w, et ayant même volume et même orientation que ce dernier[2], etc.

Les éléments de la forme ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}}$ avec v₁, …, v_k dans E sont appelés k-vecteurs. Le sous-espace de ΛE engendré par tous les k-vecteurs porte le nom de k-ème puissance extérieure de E et se note ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$. Les éléments de cet espace sont souvent appelés, au moins en géométrie, des k-multivecteurs, ou plus simplement bivecteurs pour k = 2. Les k-multivecteurs sont donc des combinaisons de k-vecteurs, pas forcément des k-vecteurs.

Les éléments de ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$ sont exactement ceux de degré k de l'algèbre graduée ${\displaystyle \Lambda E}$. En particulier, ${\displaystyle \Lambda ^{0}E=K}$ et ${\displaystyle \Lambda ^{1}E=E}$.

L'espace vectoriel ${\displaystyle \Lambda E}$ est la somme directe des puissances extérieures successives ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$ où k décrit N  :

${\displaystyle \Lambda E=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}E}$

L'indice k forme un degré compatible avec le produit extérieur : le produit d'un k-vecteur et d'un l-vecteur est un vecteur de degré inférieur à k + l. Ainsi l'algèbre extérieure a une structure d'algèbre graduée.

L'algèbre ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$ possède la propriété universelle suivante : pour toute application k-multilinéaire alternée f de ${\displaystyle E^{k}}$ dans un espace vectoriel F, il existe une unique application linéaire ${\displaystyle \varphi$ :\Lambda ^{k}E\to F} telle que[1] :

${\displaystyle \forall (v_{1},\dots ,v_{k})\in E^{k},f(v_{1},\dots ,v_{k})=\varphi (v_{1}\wedge \dots \wedge v_{k})}$.

Si E est de dimension n et de base (e₁, …, e_n), alors il est possible de donner une base de la k-ième puissance extérieure Λ^kE, sous la forme

${\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$

En effet, c'est un résultat général de décomposition pour les applications multilinéaires alternées. Chacune des composantes du k-vecteur sur cette base est un mineur de la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteurs v_j sur la base e_i.

La dimension de Λ^kE est le coefficient binomial ${\displaystyle {n \choose k}}$[3]. Notamment, Λ^kE = {0} pour k > n.

L'algèbre extérieure est donc l'algèbre graduée égale à la somme directe

${\displaystyle \Lambda E=\Lambda ^{0}E\oplus \Lambda ^{1}E\oplus \Lambda ^{2}E\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}E}$

(dans laquelle Λ⁰E = K et Λ¹E = E), et sa dimension est donc 2ⁿ.

Pour tout module ${\displaystyle M}$ sur un anneau commutatif unitaire ${\displaystyle A}$, on construit de la même façon que pour les espaces vectoriels une ${\displaystyle A}$-algèbre unitaire graduée ${\displaystyle \Lambda (M)=\oplus _{n\geq 0}\Lambda ^{n}M}$.

Si ${\displaystyle M}$ est engendré par ${\displaystyle d}$ éléments, alors ${\displaystyle \Lambda ^{n}M=0}$ pour tout ${\displaystyle n>d}$.

Si de plus ${\displaystyle M}$ est libre de rang ${\displaystyle d}$, alors ${\displaystyle \Lambda ^{n}M}$ est libre pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle \Lambda ^{d}M}$ est libre de rang 1 et est appelé le déterminant de ${\displaystyle M}$.

• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre II, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Hermann, 1970 (réimpr. 2007), 636 p. (ISBN 978-3-540-33849-9)
  L'algèbre extérieure est étudiée dans le chapitre III : Algèbres tensorielles, extérieures et symétriques.
• Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1974

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