Résistivité

Pour une barre de matériau homogène de section constante ${\displaystyle S}$ et de longueur ${\displaystyle L}$, la résistivité ${\displaystyle \rho }$ peut être retrouvée avec la loi de Pouillet : ${\displaystyle R=\rho \cdot {\frac {L}{S}}}$. La détermination de ${\displaystyle R}$ se fait :

• soit par mesure directe (à l'aide d'un ohmmètre )  ;
• soit par calcul, en faisant circuler un courant ${\displaystyle I}$ , puis en mesurant la tension ${\displaystyle U}$ . La loi d'Ohm permet alors de calculer ${\displaystyle R}$ soit  : ${\displaystyle R={\frac {U}{I}}}$ .

On utilise un telluromètre[1] et la méthode de Wenner :

On plante quatre piquets alignés et équidistants notés 1, 2, 3 et 4. Le courant de mesure est injecté entre les piquets 1 et 4 et la résistance est mesurée entre 2 et 3. Si la distance entre deux piquets est égale à D, la résistivité du sol se calcule avec la formule :

ρ = 2π⋅D ⋅R₂₃

La méthode des quatre pointes de van der Pauw (en) est utilisable pour mesurer la résistivité d'une couche mince. Il faut placer les quatre pointes près des bords de la couche à caractériser.

Soit un rectangle dont les côtés sont numérotés de 1 à 4 en partant du bord supérieur, et en comptant dans le sens des aiguilles d'une montre. On injecte le courant entre deux points du bord 1 et on mesure la tension entre les deux points du bord opposé (bord 3). Le rectangle pouvant ne pas être strictement un carré, on effectue une deuxième mesure en injectant cette fois-ci le courant entre les deux points du bord 4, et comme précédemment on mesure ensuite la tension entre les deux points du bord opposé (bord 2). Il suffit ensuite de calculer à l'aide de la loi d'Ohm, le rapport V/I pour chaque configuration de mesures.

On obtient ainsi ${\displaystyle R_{\text{AB,CD}}}$ et ${\displaystyle R_{\text{AD,BC}}}$.

La résistivité ρ est la solution de l'équation dite « équation de van der Pauw » (en) :

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {\pi \cdot e}{\rho }}\cdot R_{\text{AB,CD}}\right)+\exp \left(-{\frac {\pi \cdot e}{\rho }}\cdot R_{\text{AD,BC}}\right)=1}$ .

où e est l'épaisseur de la couche.

Une méthode de résolution consiste à calculer la résistance équivalente par la formule suivante :

${\displaystyle R_{\text{éq}}={\frac {\pi \cdot (R_{\text{AB,CD}}+R_{\text{AD,BC}})\cdot f}{2\cdot \ln(2)}}}$

f étant le facteur de forme obtenu d’après la relation :

${\displaystyle \cosh \left({\frac {R_{\text{AB,CD}}-R_{\text{AD,BC}}}{R_{\text{AB,CD}}+R_{\text{AD,BC}}}}\cdot {\frac {\ln 2}{f}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \exp \left({\frac {\ln 2}{f}}\right)}$

On calcule ensuite la résistivité avec :

ρ = R_éq ⋅e .

Les cristaux covalents sont des isolants, la bande interdite est large. Avec l'élévation de température, des électrons peuvent être suffisamment excités pour franchir le gap. La conductivité suit donc une loi en

${\displaystyle T^{\frac {3}{2}}e^{\frac {-E_{\text{g}}}{kT}}}$

où :

• T est la température absolue ;
• E_g est la largeur de la bande interdite ;
• k est la constante de Boltzmann.

Dans les cristaux ioniques, la conduction se fait par migration de défauts. Le nombre et la mobilité des défauts suivent une loi d'Arrhenius, la conductivité suit donc une loi similaire, en

${\displaystyle e^{\frac {-Q}{RT}}}$

où :

• Q est l'énergie de formation ou de migration des défauts ;
• R est la constante des gaz parfaits ;
• T est la température absolue.

Dans le cas des cristaux métalliques, la résistivité augmente linéairement avec la température ; cela est dû à l'interaction entre les électrons et les phonons.

Le premier modèle utilisé considère que les électrons se comportent comme un gaz, le libre parcours moyen des électrons étant déterminé par les chocs avec les ions (atomes du réseau sans leurs électrons libres, réseau appelé « gellium »). On trouve une résistivité valant

${\displaystyle \rho ={\frac {m}{Ne^{2}\tau }}}$

avec :

• m : masse d'un électron ;
• N : nombre d'électrons par unité de volume, de l'ordre de 10²⁸ m⁻³ ;
• e : charge élémentaire ;
• τ : temps de relaxation, c'est-à-dire durée moyenne séparant deux collisions.

Mais ce modèle ne prend pas en compte l'effet de la température ni des impuretés.

Selon la relation de Matthiessen, la conductivité comprend trois composantes :

ρ = ρ_T + ρ_i + ρ_D

avec :

• ρ_T : contribution de l'agitation thermique ;
• ρ_i : contribution des impuretés, de l'ordre du μΩ⋅cm/% d'impureté ;
• ρ_D : contribution des défauts atomiques.

Le modèle de Drude prend en compte l'effet Joule, c'est-à-dire l'énergie cinétique que les électrons cèdent au réseau à chaque collision. Comme les autres modèles, c'est un modèle non quantique, qui permet également de prévoir la conductivité thermique, mais décrit mal ce qui se passe pour les températures très basses.

La résistivité d'un métal à une température proche de la température ambiante est en général donnée par :

ρ = ρ₀(1 + α₀(θ - θ₀))

avec :

• θ₀ : température de référence (K) ou en (°C)
• ρ₀ : résistivité à la température θ₀ (Ωm) ;
• α₀ : coefficient de température à la température θ₀ (K⁻¹) ;
• θ : température (K) ou en (°C) mais doit être de la même unité que θ₀.

Attention α₀ n'est valable qu'à la température θ₀ : le véritable coefficient directeur de la caractéristique affine de la résistivité est ρ₀α₀. On peut voir que le coefficient α₀ dépend lui même de la température de référence θ₀ comme suit :

α₀=1/(θ₀ - θ_carac )

avec :

θ_carac : température caractéristique du métal considéré en (K) ou en (°C)

Ainsi pour le cuivre, θ_carac= -234,5 °C ce qui donne pour θ₀ = 20 °C, α₀ = 1/254,5 = 3,93 × 10⁻³ K⁻¹ ce qui correspond à la valeur donnée dans le tableau ci-dessus.

On pourrait ainsi, pour chaque métal, donner la valeur caractéristique θ_carac qui correspond en fait à la température qui annule la résistivité du métal quand on extrapole sa caractéristique affine pour des températures en deçà de la plage de validité de l'approximation affine :

L'équation devient :

ρ = ρ₀(1 + (θ - θ₀) / (θ₀ - θ_carac ) ) = ρ₀(θ - θ_carac ) / (θ₀ - θ_carac )

En général, la résistivité électrique des métaux augmente avec la température. Les interactions électrons-phonons peuvent jouer un rôle clé. Aux températures élevées, la résistance d'un métal augmente linéairement avec la température[4].

Résistivité des métaux purs pour des températures entre 273 et 300 K (10^-8 Ω⋅m)[6] :

L'argent métallique est le corps pur simple qui est le meilleur conducteur d'électricité à température ambiante.