Constante de Boltzmann

La constante de Boltzmann k (ou k_B) a été introduite par Ludwig Boltzmann dans sa définition de l'entropie de 1877[1]. Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre d'évoluer à l'échelle microscopique entre $\Omega$ micro-états différents, son entropie S est donnée par :

S=k_{B}\log \Omega

Données clés
Unités SI	joule par Kelvin
Dimension	$[k]=$ M·L²·T⁻²·Θ⁻¹
Nature	Grandeur scalaire
Symbole usuel	$k$ (ou $k_{B}$ )
Lien à d'autres grandeurs	$S=k_{B}\log \Omega$ $R=N_{A}\,k_{B}$
Valeur	k = 1,380 649 × 10⁻²³ J K⁻¹ (valeur exacte)

où la constante k_B retenue par le CODATA[2] vaut $k_{B}=1{,}380\,649\times 10^{-23}\;\mathrm {J\cdot K^{-1}}$ (valeur exacte).

La constante des gaz parfaits $R$ est liée à la constante de Boltzmann par la relation : $R=N_{A}\,k_{B}$ (avec $N_{A}=6,022\,140\,76\times 10^{23}\ \mathrm {mol} ^{-1}$ (valeur exacte) le nombre d'Avogadro, nombre de particules dans une mole[3]). D'où : $R=8{,}314\,462\,618...\;\mathrm {J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$ .

La constante de Boltzmann est une constante dimensionnée[4]. Sa dimension $[k]$ est $M L 2 T -2 Θ -1$ [5].

$k_{B}$ peut s'interpréter comme le facteur de proportionnalité reliant la température thermodynamique d'un système à son énergie au niveau microscopique, dite énergie interne.

Dans les situations où le théorème d'équipartition de l'énergie s'applique, la constante de Boltzmann permet de mettre en lien l'énergie thermique et la température :

$E_{\mathrm {th} }={\frac {1}{2}}k_{B}T$ est l'expression de l'énergie dans les cas les plus simples avec un seul degré de liberté ;
$E_{\mathrm {th} }={\frac {f}{2}}k_{B}T$ , où $f$ est le nombre de degrés de liberté au sens des coordonnées généralisées. Si on prend une particule libre sur un axe, le nombre de degrés de liberté en translation est égal à 1. En revanche, si cette particule est soumise à une force de rappel sinusoïdale (du type ressort), il apparaît un degré de liberté en vibration. Le nombre de degrés de liberté total devient égal à 2.

Cette constante apparaît dans toute la physique. On l'utilise pour convertir une grandeur mesurable, la température (en kelvins), en une énergie (en joules). Elle intervient par exemple dans :

le calcul du spectre électromagnétique du corps noir ;
les systèmes suivant une statistique de Maxwell-Boltzmann (ou loi de distribution des vitesses de Maxwell), notamment la loi d'Arrhenius ;
la constante de Stefan-Boltzmann ;
la constante de radiation ;
l'énergie interne d'un gaz parfait.

Histoire

L'éponyme de la constante est le physicien autrichien Ludwig Boltzmann (1844-1906)[6]^,[7]. Elle est ainsi désignée à la suite du physicien allemand Max Planck (1858-1947) qui l'a introduite en 1900[6]^,[7]. Boltzmann l'a définie et utilisée une fois dans ses écrits, en 1883[8].

Valeur

Dans les unités du Système international

Lors de sa 26^e réunion, le 16 novembre 2018, la Conférence générale des poids et mesures (CGPM) a décidé qu'à compter du 20 mai 2019, le Système international d'unités, le SI, est le système d'unités selon lequel la constante de Boltzmann, k, est égale à 1,380 649 ×10^-23 J/K (valeur exacte)[9].

Dans les unités SI, le Comité de données pour la science et la technologie (CODATA) recommandait en 2014 la valeur suivante[2] :

k_{B}\simeq 1{,}380\,648\,52\times 10^{-23}\;{\rm {J\cdot K^{-1}}}

[2]

Avec une incertitude standard de :

7{,}9\times 10^{-30}\;{\rm {J\cdot K^{-1}}}

Soit une incertitude relative de : $5{,}7\times 10^{-7}$

Valeur en eV/K

k_{B}\simeq 8{,}617\,330\,3\times 10^{-5}\;{\rm {eV\cdot K^{-1}}}

[10]

Avec une incertitude standard de :

\pm 0{,}7\,8\times 10^{-10}\;{\rm {eV\cdot K^{-1}}}

Valeur en Hz/K

k_{B}/h\simeq 2{,}083\,661\,2\times 10^{10}\;{\rm {Hz\cdot K^{-1}}}

[11]

Avec une incertitude standard de :

\pm 5{,}\,7\times 10^{7}\;{\rm {Hz\cdot K^{-1}}}

Mesure de la constante de Boltzmann

Plusieurs lois physiques peuvent être utilisées pour déterminer la valeur de $k$ :

la thermométrie acoustique à gaz, qui associe la température à la vitesse du son et à la masse molaire[12] ;
la thermométrie à gaz par mesure de la constante diélectrique, qui associe la température à la constante diélectrique ou à l'indice de réfraction[12] ;
la thermométrie à bruit de Johnson, qui associe la température à la puissance de bruit électrique dans une largeur de bande donnée[12] ;
la thermométrie par mesure de l'élargissement Doppler, qui associe la température à la largeur spectrale d'une résonance d'absorption optique[12].

La température thermodynamique (unité le kelvin) fait partie des sept unités de base du Système international d'unités (SI). Dans le cadre de la révision du Système international d'unités (SI) en vigueur depuis le 20 mai 2019, la valeur numérique de cette constante fondamentale $k_{B}=R/N_{A}$ est fixée par le Comité de données pour la science et la technologie (CODATA). La mesure de $k_{B}$ procédait jusque-là de la mesure de $R$ et de celle de $N_{A}$ .

La mesure de $N_{A}$ a suivi deux voies :

la mesure du nombre d'atomes dans un cristal de silicium le plus pur possible (réalisé, mais le prix est très onéreux et peu d'États pourraient payer un tel étalon secondaire) ;
les balances du watt donnent maintenant des résultats performants et concordants en exactitude (c'est-à-dire que l'on craint moins les erreurs systématiques car les barres d'erreur se recouvrent).

Néanmoins à terme, il était possible que le nombre d'Avogadro soit défini a priori (ce qui compte, c'est le rapport des masses des atomes. Or les atomes piégeables dans les Penning traps donnent leur masse à 10^-10 près). C'est finalement le choix qui a été retenu, ce qui revient également à fixer $R$ .

Mesure de la constante des gaz parfaits

La dernière mesure de $R$ (constante des gaz parfaits) est assez ancienne : elle date de 1988 au National Institute of Standards and Technology (NIST). On cherche donc à l'améliorer.

la mesure de la vitesse du son dans un gaz (Moldover), situé dans un résonateur sphérique rempli d'argon, étudiée en fonction de la pression (corrections du viriel) est un exploit technologique assez délicat (variation du volume avec la pression, absorption, désorption). Laurent Pitre opère avec de l'hélium.
la mesure relative d'une capacité à gaz comparée à celle à vide permet de mesurer la constante diélectrique du gaz et de remonter via la relation de Clausius-Mossotti à $k_{B}T$ : la précision est 30 ppm avec l'objectif d'atteindre 1 ppm.
la mesure du bruit de résistance thermique (relation de Nyquist) ne permettra sans doute pas d'atteindre mieux que 20 ppm, en raison de la bande passante.
la mesure du rayonnement du corps noir, via la loi de Stefan est limitée à cause de la précision sur l'ouverture (il faut la luminance et non la puissance. Le stéradian intervient) : 30 ppm.

On peut comme en astronomie, définir la température de couleur, mais là c'est l'étalonnage du filtre de bande passante qui est limitant : 100 ppm.

la mesure de largeur Doppler d'une raie spectrale paraît finalement la meilleure solution : le thermomètre mesure donc la température en hertz. La cuve actuelle du LNE-LNM (Paris-XIII) de 250 litres d'un mélange eau-glace à 273,150(3) K contient l'ampoule de gaz ammoniac NH₃ dont on étudie une raie IR caractéristique bien cataloguée, de forte absorption (pour obtenir le meilleur rapport signal sur bruit et pour travailler à plus basse pression). Une nouvelle cuve récemment entrée en service permet de tester l'exactitude : avec un spectre en 38 s et environ 500 en 5 h, on atteint les 50 ppm d'incertitude (Daussy, PRL2007).

Mais se posent encore des problèmes non résolus : le tirage par échantillons n'est pas vraiment homogène (erreurs systématiques) : il convient donc de repérer les défauts d'exactitude : alignement optique, rétroaction cuve-banc d'optique, modulation de l'intensité du laser CO₂ (en fréquence et en puissance) et de sa chaîne de balayage.

L'avantage de cette méthode est de pouvoir changer de nombreux paramètres (afin de tester expérimentalement l'exactitude), en particulier changer de gaz, CH₄ ou SiCl₄, etc.

On pourra alors balayer un intervalle de température assez élevé, ce qui améliorera considérablement l'EIT 90 (Échelle internationale de température 1990).

Il est possible qu'à terme, on s'aperçoive que d'autres transitions de phase soient meilleures, puis si on prend l'habitude de mesurer les températures en hertz, c'est-à-dire en joules, via la donnée imposée de la constante de Planck, (soit en eV, si on a la charge de l'électron avec assez de précision), alors on aura réalisé un thermomètre gradué directement en Hz et eV : la boucle se refermera car beaucoup de physiciens des basses températures utilisent déjà cette unité. Or $k_{B}$ n'est jamais que le facteur de conversion J/K.

Ce type de situation a déjà été vécu : il fut un temps où l'unité de chaleur était la calorie et l'unité de travail le joule et la calorie par joule s'appelait J et était tabulée par CODATA : J ~ 4,185 5 cal/J. Ensuite on a décidé de prendre la même unité pour la chaleur et le travail, compte tenu du premier principe de la thermodynamique et de l'expérience de Joule (1845).

Alors la constante de Boltzmann se « fossilisera ». L'entropie se mesurera en bits ou en octets et sera ce qu'elle est réellement : une grandeur sans dimension (mais avec des unités puisqu'il s'agit de z → Ln z : unités le néper et le radian).

Notes et références

(en) Ludwig Boltzmann, Lectures on Gas Theory, Dover Publications, 1964 (ISBN 0-486-68455-5)
« The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Boltzmann constant k »
« The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Avogadro Constant N_A, L »
Uzan et Lehoucq 2005, p. 41.
Dubesset 2000, s.v. constante de Boltzmann, p. 50.
Gupta 2020, chap. 8, § 8.1, p. 189.
Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Boltzmann (constante de), p. 83, col. 1.
Darrigol 2018, p. XXIV.
https://www.bipm.org/utils/fr/pdf/CGPM/Draft-Resolution-A-FR.pdf
« The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Boltzmann constant in eV/K k »
« The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Boltzmann constant in Hz/K k/h »
Pitre et Sadli 2019, p. 30, col. 1.

Voir aussi

Bibliographie

[CGPM 2019] Conférence générale des poids et mesures, Comptes rendus de la 26^e réunion de la Conférence générale des poids et mesures (Versailles, 13-16 novembre 2018), Sèvres, Bureau international des poids et mesures, décembre 2019, 1^re éd., 560 p., 30 cm (ISBN 978-92-822-2276-8, lire en ligne).
C. Daussy, M. Guinet, A. Amy-Klein, K. Djerroud, S. Briaudeau, Y. Hermier, Ch. J. Bordé et C. Chardonnet, « Spectroscopic determination of the Boltzmann constant: first results », Physical Review Letters 98, 250801 (2007)
[Dubesset 2000] Michel Dubesset (préf. de Gérard Grau), Le manuel du Système international d'unités : lexique et conversions, Paris, Technip, coll. « Publications de l'Institut français du pétrole » (n^o 20), sept. 2000, 1^re éd., 1 vol., XX-169 p., ill., fig. et tabl., 15 × 22 cm, br. (ISBN 2-7108-0762-9, EAN 9782710807629, OCLC 300462332, notice BnF n^o FRBNF37624276, SUDOC 052448177, présentation en ligne, lire en ligne).
[Darrigol 2018] (en) Olivier Darrigol, Atoms, mechanics, and probability : Ludwig Boltzmann's statistico-mechanical writings – an exegesis [« Atomes, mécanique et probabilités : les écrits de mécanique statistique de Ludwig Boltzmann – une exégèse »], Oxford, OUP, hors coll., fév. 2018, 1^re éd., 1 vol., XXVI-612 p., ill. et fig., 16,8 × 24 cm, rel. (ISBN 978-0-19-881617-1, EAN 9780198816171, OCLC 1034791008, notice BnF n^o FRBNF45463085, DOI 10.1093/oso/9780198816171.001.0001, SUDOC 227342291, présentation en ligne, lire en ligne).
[Gupta 2020] (en) S. V. Gupta, Units of measurement : history, fundamentals and redefining the SI base units [« Les unités de mesure : histoire, fondements et redéfinition des unités de base du SI »], Cham et New Delhi, Springer et MSI, coll. « Springer series in materials science » (n^o 122), juin 2020, 2^e éd. (1^re éd. nov. 2009), 1 vol., XXIII-304 p., ill., fig. et tabl., 15,6 × 23,4 cm, rel. (ISBN 978-3-030-43968-2, EAN 9783030439682, OCLC 1141991798, DOI 10.1007/978-3-030-43969-9, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 8 (« Boltzmann constant defining kelvin K ») [« La constante de Boltzmann définissant le kelvin K »], p. 189-211 (OCLC 8615164422, DOI 10.1007/978-3-030-43969-9_8).
[Uzan et Lehoucq 2005] Jean-Philippe Uzan et Roland Lehoucq, Les constantes fondamentales, Paris, Belin, coll. « Belin Sup / histoire des sciences / physique », mai 2005, 1^re éd., 1 vol., 487 p., ill. et fig., 17 × 24 cm, br. (ISBN 2-7011-3626-1, EAN 9782701136264, OCLC 300532710, notice BnF n^o FRBNF39295528, SUDOC 087569523, présentation en ligne, lire en ligne).

Publications originales

[Boltzmann 1884] (de) Ludwig Boltzmann, « Über das Arbeitsquantum, welches bei chemischen Verbindungen gewonnen werden kann », Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, vol. 88, n^o 2,‎ 1884, p. 861-896 (lire en ligne [PDF]).

Dictionnaires et encyclopédies

[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll. / sciences, janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., ill. et fig., 17 × 24 cm, br. (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, notice BnF n^o FRBNF45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v. Boltzmann (constante de), p. 83, col. 1.

Métrologie

[Julien et al. 2019] Lucile Julien, François Nez, Matthieu Thomas, Patrick Espel, Djamel Ziane, Patrick Pinot, François Piquema, Pierre Cladé, Saïda Guellati-Khélifa, Sophie Djordjevic, Wilfrid Poirier, Félicien Schopfer, Olivier Thévenot, Laurent Pitre et Mohamed Sadli, « Le nouveau Système international d'unités : le kilogramme, l'ampère, la mole et le kelvin redéfinis », Reflets phys., n^o 62 : « Le nouveau Système international d'unités »,‎ juin 2019, p. 11-31 (DOI 10.1051/refdp/201962011, résumé, lire en ligne [PDF]) :
- [Pitre et Sadli 2019] Laurent Pitre et Mohamed Sadli, « Le kelvin révisé et la constante de Boltzmann », Reflets phys., n^o 62,‎ juin 2019, p. 29-31.

Articles connexes

Liens externes

Mesure de la constante de Boltzmann (CNRS)
[OI] (en) « Boltzmann constant » [« Constante de Boltzmann »], notice d'autorité n^o 20110803095516331 de l'Oxford Index [OI], sur la base de données Oxford Reference de l'OUP.

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[1] (en) Ludwig Boltzmann, Lectures on Gas Theory, Dover Publications, 1964 (ISBN 0-486-68455-5)

[CODATA-2] « The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Boltzmann constant k »

[3] « The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Avogadro Constant N_A, L »

[UzanLehoucq200541-4] Uzan et Lehoucq 2005, p. 41.

[Dubesset200050''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_constante_de_Boltzmann-5] Dubesset 2000, s.v. constante de Boltzmann, p. 50.

[Gupta2020189<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;8</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;8.1</span>-6] Gupta 2020, chap. 8, § 8.1, p. 189.

[TailletVillainFebvre201883,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_Boltzmann_(constante_de)-7] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Boltzmann (constante de), p. 83, col. 1.

[Darrigol2018<abbr_class="abbr_"_title="24"_><span_class="romain"_style="text-transform:uppercase">XXIV</span></abbr>-8] Darrigol 2018, p. XXIV.

[9] ttps://www.bipm.org/utils/fr/pdf/CGPM/Draft-Resolution-A-FR.pdf

[10] « The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Boltzmann constant in eV/K k »

[11] « The NIST Reference on Constants, Units, Uncertainty : Boltzmann constant in Hz/K k/h »

[PitreSadli201930,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-12] Pitre et Sadli 2019, p. 30, col. 1.