Matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels

Soit ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&3\\-{\frac {3}{4}}&-2\end{pmatrix}}\in \operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )}$ ; son polynôme caractéristique est ${\displaystyle p_{M}(X)=\left(X+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$ qui a comme unique racine ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$, qui est donc l'unique valeur propre de ${\displaystyle M}$.

On peut déjà en déduire que ${\displaystyle M}$ n'est pas diagonalisable (car ${\displaystyle M\neq -{\frac {1}{2}}I_{2}}$) et prévoir que par conséquent, le sous-espace propre ${\displaystyle E_{-{\frac {1}{2}}}}$ est de dimension 1.

Le calcul le confirme :

${\displaystyle E_{-{\frac {1}{2}}}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}2x\\-x\end{pmatrix}}~\right|~x\in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {Vect} (e'_{1})}$, avec ${\displaystyle e'_{1}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}}$.

On peut alors compléter ${\displaystyle e'_{1}}$ avec par exemple le vecteur ${\displaystyle e'_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$, de manière que ${\displaystyle B'=(e_{1}',e'_{2})}$ forme une base de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

On sait déjà que ${\displaystyle Me'_{1}={\frac {-1}{2}}e_{1}'}$ et l'on trouve facilement ${\displaystyle Me'_{2}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\frac {3}{2}}e'_{1}-{\frac {1}{2}}e'_{2}}$.

La matrice ${\displaystyle M}$ dans la base ${\displaystyle B'}$ s'écrit donc

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}{\frac {-1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\0&{\frac {-1}{2}}\end{pmatrix}}}$.

La matrice ${\displaystyle P}$ telle que ${\displaystyle M=PTP^{-1}}$ n'est autre que la matrice de passage de la base canonique ${\displaystyle B=(e_{1},e_{2})}$ à la base ${\displaystyle B'}$. Elle est donc constituée des vecteurs de ${\displaystyle B'}$ exprimés dans la base ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}}}$.

De même, pour calculer ${\displaystyle P^{-1}}$, il suffit d'exprimer les vecteurs de ${\displaystyle B}$ dans la base ${\displaystyle B'}$. On trouve facilement

${\displaystyle e_{1}={\frac {1}{2}}e'_{1}+{\frac {1}{2}}e'_{2}}$ et ${\displaystyle e_{2}=e'_{2}}$ donc

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}}$.

Matrice carrée d'ordre 3 à coefficients complexes

Soit ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &2&-1\\0&\mathrm {i} &0\\0&-1&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {M} _{3}(\mathbb {C} )}$ ; son polynôme caractéristique est ${\displaystyle p_{M}(X)=\left(\mathrm {i} -X\right)^{2}(2-X)}$.

Comme dans l'exemple précédent, on a après calculs : ${\displaystyle E_{\mathrm {i} }=\operatorname {Vect} (e'_{1})}$ et ${\displaystyle E_{2}=\operatorname {Vect} (e'_{2})}$ avec

${\displaystyle e'_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\in E_{\mathrm {i} }}$ et ${\displaystyle e'_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\\mathrm {i} -2\end{pmatrix}}}$,

que l’on complète par ${\displaystyle e'_{3}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$ pour former une base ${\displaystyle B'=(e'_{1},e'_{2},e'_{3})}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$, et l'on calcule :

${\displaystyle Me'_{3}={\frac {8-\mathrm {i} }{5}}e'_{1}+{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}e'_{2}+\mathrm {i} e'_{3}}$.

La matrice ${\displaystyle M}$ dans ${\displaystyle B'}$ est donc

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0&{\frac {8-\mathrm {i} }{5}}\\0&2&{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}\\0&0&i\end{pmatrix}}}$

et l’on a ${\displaystyle M=PTP^{-1}}$ avec ${\displaystyle P}$ la matrice de passage de la base canonique ${\displaystyle B}$ à la base ${\displaystyle B'}$, d'où :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&\mathrm {i} -2&0\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&{\frac {2+\mathrm {i} }{5}}\\0&0&{\frac {-2-\mathrm {i} }{5}}\\0&1&0\end{pmatrix}}}$.