< Matrice
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Dans ce chapitre, les K-espaces vectoriels de dimensions finies E et F sont munis chacun de deux bases :
- et sont deux bases de ;
- et sont deux bases de .
Nous allons définir les matrices de passage (ou matrices de changement de base) de à et de à qui, pour une application linéaire , vont permettre de faire le lien entre et .
Matrice de passage
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Définition
La matrice de passage de à est :
- la matrice de l'application identité IdE, de E muni de la base dans E muni de la base
ou, ce qui est équivalent :
- la matrice dont les colonnes sont les coordonnées dans des vecteurs de .
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Dans la première de ces deux définitions, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie. |
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Remarques
Soit la matrice de passage de à . Il résulte immédiatement de la définition que :
- est inversible : son inverse est la matrice de passage de à ;
- si un même vecteur de E a pour coordonnées dans et dans , alors .
Changement de bases pour une application linéaire
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Proposition
Soient :
- une application linéaire ;
- la matrice de passage de à (bases de );
- la matrice de passage de à (bases de ).
Alors,
.
Démonstration
donc
- .
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