Soit ${\displaystyle u}$ un endomorphisme de rang ${\displaystyle 1}$ (d'un espace vectoriel de dimension non nécessairement finie).

Son image est une droite ${\displaystyle D}$, engendrée par un vecteur ${\displaystyle x}$, et son noyau est un hyperplan ${\displaystyle H}$.

Si ${\displaystyle x\in H}$ alors ${\displaystyle u^{2}=0}$. Si ${\displaystyle x\notin H}$ alors ${\displaystyle u}$ a deux sous-espaces propres supplémentaires : ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle D}$.

${\displaystyle PQ}$ annule ${\displaystyle A}$ et divise ${\displaystyle Q^{2}-Q}$ donc ${\displaystyle Q(A)}$ est une matrice de projecteur dont l'image est incluse dans le noyau de ${\displaystyle P(A)}$.

Réciproquement, ${\displaystyle \ker P(A)\subset \ker \left(Q(A)-\mathrm {I} _{n}\right)\subset \operatorname {im} Q(A)}$.

Par conséquent, ${\displaystyle \dim \ker {P(A)}=\dim \operatorname {im} {Q(A)}=\operatorname {tr} {Q(A)}}$.

${\displaystyle NN^{t}}$ est symétrique réelle donc diagonalisable. Or elle est nilpotente car ${\displaystyle (NN^{t})^{n}=N^{n}(N^{n})^{t}}$.

Par conséquent, elle est nulle donc ${\displaystyle 0=\operatorname {tr} \left(NN^{t}\right)=\sum _{1\leq i,j\leq n}N_{i,j}^{2}}$, autrement dit : ${\displaystyle N=0}$.

Voir Décomposition de Frobenius.

Dans les deux cas, d'après l'exercice précédent, il suffit de démontrer l'énoncé analogue pour les matrices complexes. On peut alors se ramener au cas où ${\displaystyle A}$ est un bloc de Jordan et conclure par le calcul.

5 est valeur propre et le premier vecteur — que nous noterons ${\displaystyle v}$ — de la base de définition de la matrice possède pour polynôme conducteur ${\displaystyle (X-5)^{4}}$. La famille suivante forme donc une base de Jordan :

${\displaystyle ((A-5I)^{3}v,(A-5I)^{2}v,(A-5I)v,v)=\left({\begin{pmatrix}5922\\4230\\-3572\\-5170\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2857\\2363\\-1962\\-2392\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}317\\325\\-259\\-237\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\right)}$.

Nous avons ainsi choisi une matrice de passage :

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}5922&2857&317&1\\4230&2363&325&0\\-3572&-1962&-259&0\\-5170&-2392&-237&0\\\end{pmatrix}}}$

et la matrice de Jordan est :

${\displaystyle J=J_{4}(5)={\begin{pmatrix}5&1&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}}$.

Les valeurs propres de ${\displaystyle B}$ sont 4, 4, 2 et 1. De plus, on remarque que :

${\displaystyle \dim \ker {(B-I)}=1,~\dim \ker {(B-2I)}=1,~\dim \ker {(B-4I)}=1,~\dim \ker({B-4I})^{2}=2.}$

Nous en déduisons que la matrice de Jordan sera (à permutation près des trois blocs) de la forme :

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{2}(4)&&\\&J_{1}(2)&\\&&J_{1}(1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&0&0\\0&4&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Nous remarquons que le vecteur ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}}$ a pour image par la matrice ${\displaystyle B-4I}$ : ${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}}$. Ces deux vecteurs colonnes engendrent l'espace caractéristique de valeur propre 4.

On en déduit

${\displaystyle \ker {(B-4I)}^{2}=\operatorname {Vect} \ \left({\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}}\right).}$

Nous en déduisons une matrice de passage ${\displaystyle P}$ telle que ${\displaystyle P^{-1}BP=J}$ :

${\displaystyle P=\left((B-4I)\mathbf {v} \left|\mathbf {v} \left|\mathbf {w} \left|\mathbf {x} \right)\right.\right.\right.={\begin{pmatrix}-1&0&1&-1\\0&0&-1&1\\1&-1&0&0\\-1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$