Réduction des endomorphismes/Exercices/Valeurs et vecteurs propres

Exercice 2-1

Référence pour la question 3 : Ralph Howard, « The Characteristic Polynomial of a Product », sur people.math.sc.edu, 20121995.

Soient $A,B\in \mathrm {M} _{n}(R)$ , où $R$ est un anneau commutatif unitaire.

Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible alors $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique.
Dans le cas particulier où $R$ est le corps des réels ou des complexes, étendre ce résultat au cas où ni $A$ , ni $B$ n'est inversible.
Étendre également ce résultat en supposant seulement que l'anneau $R$ est un corps. Indication (cf. Matrice/Relations entre matrices) : si $\operatorname {rang} (A)=r$ alors $A$ est équivalente à la matrice $A':={\begin{pmatrix}I_{r}&0_{r,n-r}\\0_{n-r,r}&0_{n-r}\end{pmatrix}}$ .

Solution

Si $A$ ou $B$ est inversible alors $AB$ et $BA$ sont même semblables (cf. Matrice/Exercices/Relations entre matrices) donc $AB-X\mathrm {I} _{n}$ et $BA-X\mathrm {I} _{n}$ le sont aussi, donc $\det(AB-X\mathrm {I} _{n})=\det(BA-X\mathrm {I} _{n})$ .
Pour $B$ fixé et $k<n$ , le $k$ -ième coefficient du polynôme caractéristique de $AB$ et celui de $BA$ sont deux fonctions de $A$ , définies continues sur $\mathrm {M} _{n}(R)$ (avec $R=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ ), et coïncident sur le sous-ensemble $\mathrm {GL} _{n}(R)$ d'après la question précédente. Par densité de $\mathrm {GL} _{n}(R)$ dans $\mathrm {M} _{n}(R)$ (cf. Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie), ces deux fonctions sont égales.
(Le résultat s'étendra même ensuite au cas où $R$ est seulement un anneau commutatif unitaire intègre, en le remplaçant par son corps des fractions.)
Soient $P,Q\in \mathrm {GL} _{n}(R)$ telles que $A'=Q^{-1}AP$ puis, soit $B':=P^{-1}BQ$ . Alors, $A'B'=Q^{-1}ABQ$ et $B'A'=P^{-1}BAP$ donc il suffit de montrer que $A'B'$ et $B'A'$ ont même polynôme caractéristique. Calculons ces deux produits en découpant $B'$ en blocs de tailles compatibles :

$A'B'={\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}C&D\\E&F\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C&D\\0&0\end{pmatrix}}$ et $B'A'={\begin{pmatrix}C&D\\E&F\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C&0\\E&0\end{pmatrix}}$ donc

$\det(X\mathrm {I} _{n}-A'B')=X^{n-r}\det(X\mathrm {I} _{r}-C)=\det(X\mathrm {I} _{n}-B'A')$ .

Exercice 2-2

Référence : Qiaochu Yuan, « ab, ba, and the spectrum », sur qchu.wordpress.com, 2012, qui indique aussi d'autres méthodes.

Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$ . On se propose de démontrer que $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique, pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de taille $n$ à coefficients dans un même anneau commutatif unitaire.

Soient $\mathrm {R} =\mathbb {Z} [\mathrm {a} _{i,j},\mathrm {b} _{i,j}]$ l'anneau de polynômes à coefficients entiers en $2n^{2}$ indéterminées $\mathrm {a} _{i,j},\mathrm {b} _{i,j},1\leq i,j\leq n$ et $\mathrm {A} :=(\mathrm {a} _{i,j}),\mathrm {B} :=(\mathrm {b} _{i,j})\in \mathrm {M} _{n}(\mathrm {R} )$ les matrices dont les coefficients sont ces indéterminées. Montrer que dans $\mathrm {R} [X]$ , $\det(\mathrm {AB} -X\mathrm {I} _{n})=\det(\mathrm {BA} -X\mathrm {I} _{n})$ .
En déduire le théorème annoncé.

Solution

$\det \mathrm {B} \det(\mathrm {AB} -X\mathrm {I} _{n})=\det(\mathrm {BAB} -X\mathrm {B} )=\det(\mathrm {BA} -X\mathrm {I} _{n})\det \mathrm {B}$ ,
or l'anneau $\mathrm {R} [X]$ est commutatif et intègre et $\det \mathrm {B}$ est non nul. On peut donc simplifier.
Soient $R$ un anneau commutatif unitaire quelconque et $A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})$ deux matrices quelconques dans $\mathrm {M} _{n}(R)$ . Notons $P(\mathrm {a} _{i,j},\mathrm {b} _{i,j},X)$ le polynôme universel $\det(\mathrm {AB} -X\mathrm {I} _{n})\in \mathbb {Z} [\mathrm {a} _{i,j},\mathrm {b} _{i,j},X]$ qui, d'après la question précédente, est invariant par échange des indéterminées $\mathrm {a} _{i,j},\mathrm {b} _{i,j}$ : $P(\mathrm {a} _{i,j},\mathrm {b} _{i,j},X)=P(\mathrm {b} _{i,j},\mathrm {a} _{i,j},X)$ . Par évaluation, c'est-à-dire en remplaçant les indéterminées par des valeurs particulières, on en déduit, dans $R[X]$ : $\det(AB-X\mathrm {I} _{n})=P(a_{i,j},b_{i,j},X)=P(b_{i,j},a_{i,j},X)=\det(BA-X\mathrm {I} _{n})$ .

Exercice 2-3

Généralisation du résultat de l'exercice précédent.

Référence : Keith Conrad, « Universal identities, I », p. 8 (à une coquille près).

Soient $R$ un anneau commutatif unifère, $A\in \mathrm {M} _{m,n}(R)$ et $B\in \mathrm {M} _{n,m}(R)$ . On considère les matrices par blocs de $\mathrm {M} _{m+n}(R[X])$ :

M={\begin{pmatrix}X\mathrm {I} _{m}&A\\B&\mathrm {I} _{n}\end{pmatrix}}

et

N={\begin{pmatrix}\mathrm {I} _{m}&0\\-B&X\mathrm {I} _{n}\end{pmatrix}}

.

Calculer $MN$ et $NM$ .
En déduire que $X^{n}\det(X\mathrm {I} _{m}-AB)=X^{m}\det(X\mathrm {I} _{n}-BA)$ .

Solution

$MN={\begin{pmatrix}X\mathrm {I} _{m}-AB&XA\\0&X\mathrm {I} _{n}\end{pmatrix}}$ et $NM={\begin{pmatrix}X\mathrm {I} _{m}&A\\0&X\mathrm {I} _{n}-BA\end{pmatrix}}$ .
$\det(MN)=\det M\det N=\det N\det M=\det(NM)$
or le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est égal au produit des déterminant des blocs diagonaux donc d'après la question précédente,
$\det(MN)=X^{n}\det(X\mathrm {I} _{m}-AB)$ et $\det(NM)=X^{m}\det(X\mathrm {I} _{n}-BA)$ .

Exercice 2-4

Soient

R

un anneau commutatif unifère et

A\in \mathrm {M} _{n}(R)

. On considère le polynôme

(-1)^{n}p_{A}(X)

:

P(X)=\det(X\mathrm {I} _{n}-A)=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}

.

Démontrer que $\operatorname {Tr} (A)=-c_{n-1}$ ;
En déduire que si $P(X)=(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})$ alors $\operatorname {Tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ .

Solution

Dans le développement du déterminant par la formule de Leibniz, on constate qu'il n'apparaît de monôme en $X^{n-1}$ que dans un seul des n! termes de la somme, celui qui est produit des termes diagonaux de $X\mathrm {I} _{n}-A$ , c'est-à-dire :
$(X-a_{11})(X-a_{22})\cdots (X-a_{nn})$ .

Le coefficient $c_{n-1}$ de $X^{n-1}$ dans ce produit est $-\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=-\operatorname {Tr} (A)$ .
En développant $(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})$ , on trouve $c_{n-1}=-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ . On conclut grâce à la question précédente.

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