Matrice/Déterminant

Définition

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif K (le plus souvent, $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ ).

Il est alors possible de définir le déterminant de la matrice A par la formule de Leibniz:

Définition

Le déterminant d'une matrice carrée $A=(a_{i,j})$ d’ordre $n$ est le nombre noté $\det(A)$ égal à :

\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}

où :

$S_{n}$ est l’ensemble des permutations de $\{1,2,\dots ,n\}$ ;
$\epsilon (\sigma )$ désigne la signature d'une permutation $\sigma$ (égale à 1 si la permutation est paire et –1 si la permutation est impaire).

(Pour plus de détails sur $S_{n}$ et $\epsilon$ , voir le chapitre « Groupes symétriques finis » du cours de théorie des groupes.)

Ce déterminant se note fréquemment entre deux barres verticales : $\det {\begin{pmatrix}m_{1;1}&\cdots &m_{1;n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n;1}&\cdots &m_{n;n}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}m_{1;1}&\cdots &m_{1;n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n;1}&\cdots &m_{n;n}\end{vmatrix}}$ .

Exemples

Matrice 2 × 2

Pour une matrice 2 × 2, la définition ci-dessus donne :

\left|{\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right|=ad-bc

.

Matrice 3 × 3

Pour une matrice 3×3, donc de type ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ , le plus simple pour calculer le déterminant est d’utiliser la règle de Sarrus. Pour résumer son fonctionnement, il faut tracer des diagonales passant par trois points (par exemple, a, e et i, ou encore d, b et i). Pour chaque trait tracé, il faudra multiplier les termes entre eux.

Nous aurons donc 3 traits diagonaux vers le bas (a, e, i / d, h, c / g, b, f) et 3 traits diagonaux vers le haut (a, h, f / d, b, i / g, e, c). Pour trouver le déterminant, il faut additionner les résultats des termes obtenus par les diagonales vers le bas et soustraire les résultats des termes obtenus par les diagonales vers le haut.

Ainsi, pour résumer :

\det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=aei+dhc+gbf-ahf-dbi-gec

.

La règle de Sarrus est spécifique aux matrices 3×3.

Quiz

{\begin{pmatrix}5&-3\\2&7\end{pmatrix}}

=

{\begin{pmatrix}1&4&0\\-1&-2&7\\0&3&8\end{pmatrix}}

=

Matrice triangulaire

En appliquant la formule de Leibniz à une matrice dont la dernière colonne est constituée d'un 1 précédé de zéros, on constate que son déterminant est égal à celui de la sous-matrice carrée $B$ obtenue en supprimant cette dernière colonne et la dernière ligne :

\det {\begin{pmatrix}B&0\\L&1\end{pmatrix}}=\det(B)

.

Par récurrence, on en déduit que le déterminant d'une matrice triangulaire inférieure est égal au produit de ses termes diagonaux :

{\begin{vmatrix}a_{11}&0&\dots &0a_{21}&a_{22}&0&\vdots \\\vdots &*&\ddots &0\\a_{n1}&\dots &\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}\dots a_{n,n}

.

Déterminant d'une matrice transposée

Nous allons démontrer de nombreuses propriétés du déterminant d'une matrice carrée en le considérant comme une fonction des colonnes de cette matrice mais grâce à la proposition suivante, toutes ces propriétés seront aussi vraies en remplaçant partout le mot « colonnes » par « lignes ».

Proposition

Une matrice carrée a même déterminant que sa transposée :

\det A=\det \left({}^{t}\!{A}\right)

.

Démonstration

En appliquant la formule de Leibniz à la transposée

\det({}^{t}\!A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{j,\sigma (j)}

,

on effectue un changement d'indice en posant $k=\sigma (j)$ . Par bijectivité de $\sigma$ , cela conduit à

\det({}^{t}\!A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon (\sigma )\prod _{k=1}^{n}a_{\sigma ^{-1}(k),k}

.

Une deuxième réindexation s'impose : prendre $\tau =\sigma ^{-1}$ . L'application qui à $\sigma$ associe son inverse est une bijection de $S_{n}$ dans lui-même. On peut donc effectuer ce changement d'indice et ainsi

\det({}^{t}\!A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\epsilon (\tau ^{-1})\prod _{k=1}^{n}a_{\tau (k),k}=\sum _{\tau \in S_{n}}\epsilon (\tau )\prod _{k=1}^{n}a_{\tau (k),k}=\det A

.

Propriété fondamentale

La définition par la formule de Leibniz présente peu d'intérêt pour le calcul pratique des déterminants, mais permet, comme on vient de le voir, d'établir des résultats très utiles. Le suivant est essentiel :

Théorème

L'application déterminant est l'unique application de $\mathrm {M} _{n}(K)$ dans $K$ qui :

dépend de façon linéaire de chaque colonne de la matrice ;
vaut $0$ lorsque deux colonnes sont égales ;
vaut $1$ pour la matrice identité.

Démonstration

Vérifions que l'application déterminant possède les trois propriétés.

Dans chaque terme de la somme qui définit $\det(A)$ , on a affaire à un produit de composantes, une pour chaque colonne de la matrice. Donc si une seule colonne varie, cette somme est une combinaison linéaire des composantes de cette colonne.
Si deux colonnes d'indices $k$ et $\ell$ distincts sont égales, on introduit la transposition $\tau$ qui échange $k$ et $\ell$ . On regroupe les termes deux par deux : chaque permutation paire $\sigma$ avec la permutation $\tau \circ \sigma$ . L'application $\sigma \mapsto \tau \circ \sigma$ étant bijective de l'ensemble $A_{n}$ des permutations paires dans celui des permutations impaires, on a bien décrit chaque terme une seule fois.
$\det(A)=\sum _{\sigma \in A_{n}}\left(\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}-\prod _{j=1}^{n}a_{\tau (\sigma (j)),j}\right)$ .

Les deux termes dont on fait la différence étant égaux, le résultat est donc bien nul.
Immédiat.

L'unicité, admise ici, sera démontrée dans la leçon « Application multilinéaire », de niveau 15.

Corollaire

Le déterminant d'une matrice carrée ne change pas lorsqu'on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres.
Si les colonnes d'une matrice carrée sont liées, alors son déterminant est nul.
Si l'on échange deux colonnes d'une matrice carrée, cela multiplie son déterminant par $-1$ .
Plus généralement, si l'on effectue sur ses colonnes une permutation $\sigma$ , cela multiplie son déterminant par $\epsilon (\sigma )$ .

Démonstration

D'après les propriétés 1 et 2 du théorème :
$\det \left(C_{1},\dots ,C_{k-1},C_{k}+\sum _{j\neq k}\lambda _{j}C_{j},C_{k+1},\dots ,C_{n}\right)=\det \left(C_{1},\dots ,C_{n}\right)+\sum _{j\neq k}\lambda _{j}\det \left(C_{1},\dots ,C_{k-1},C_{j},C_{k+1},\dots ,C_{n}\right)=$ $\det \left(C_{1},\dots ,C_{n}\right)+\sum _{j\neq k}\lambda _{j}\times 0=\det \left(C_{1},\dots ,C_{n}\right)$ .
Si une colonne est combinaison linéaire des autres, $C_{k}=\sum _{j\neq k}\lambda _{j}C_{j}$ , alors, en ajoutant à cette colonne la combinaison linéaire $\sum _{j\neq k}(-\lambda _{j})C_{j}$ , on obtient un déterminant à la fois inchangé (d'après le point précédent) et nul (puisqu'il a une colonne nulle).
Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique.
Résulte du point précédent car si $\sigma$ est une composée de $k$ transpositions alors $\epsilon (\sigma )=(-1)^{k}$ .

Remarque

Le déterminant de

\lambda A

n'est pas égal à

\lambda \times \det(A)

.

Si $A=\left(C_{1},\dots ,C_{n}\right)\in \mathrm {M} _{n}(K)$ (et $\lambda ,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K$ ) alors $\det \left(\lambda _{1}C_{1},\dots ,\lambda _{n}C_{n}\right)=\lambda _{1}\dots \lambda _{n}\det \left(C_{1},\dots ,C_{n}\right)$ , en particulier :

\det(\lambda A)=\lambda ^{n}\det(A)

.

Conséquences

Déterminant d'un produit

\forall A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad \det(AB)=\det(A)\times \det(B)

.

Démonstration

Pour $A$ fixée, l'application $f:\mathrm {M} _{n}(K)\to \mathrm {K} ,\;B\mapsto \det(AB)$ vérifie les propriétés 1 et 2 du théorème fondamental ci-dessus, donc est proportionnelle à l'application $\det$ , le coefficient de proportionnalité étant égal à $f(\mathrm {I} _{n})=\det(A)$ .

Comatrice

La comatrice $\operatorname {com} A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ — ou matrice des cofacteurs — d'une matrice carrée $A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ est définie par :

(\operatorname {com} A)_{i,j}=(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})

,

où $A_{i,j}\in \mathrm {M} _{n-1}(K)$ se déduit de $A$ en supprimant la $i$ -ème ligne et la $j$ -ème colonne.

Exemple

$\operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$ .

Les deux premiers points du théorème suivant permettent de calculer un déterminant en fonction des coefficients d'une seule colonne ou d'une seule ligne et des cofacteurs correspondants, ramenant ainsi le calcul d'un déterminant d'ordre n à celui de n déterminants d'ordre n – 1. Le troisième les inclut et fournira, au chapitre suivant, une expression de l'inverse d'une matrice carrée de déterminant non nul.

Formules de Laplace

Soit $A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in \mathrm {M} _{n}(K)$ .

Développement par rapport à la $j$ -ème colonne : $\det(A)=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$ .
Développement par rapport à la $i$ -ème ligne : $\det(A)=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(\operatorname {com} A)_{i,j}$ .
$A\;{}^{t}\!\left(\operatorname {com} A\right)={}^{t}\!\left(\operatorname {com} A\right)\;A=\det(A)\;\mathrm {I} _{n}$ .

Démonstration

Par linéarité par rapport à la $j$ -ème colonne, $\det(A)=\sum _{i}a_{i,j}\det \left(A'_{i,j}\right)$ , où la matrice $A'_{i,j}$ s'obtient à partir de $A$ en remplaçant la $j$ -ème colonne par la colonne constituée uniquement de zéros, sauf un $1$ en $i$ -ème position. On calcule son déterminant en effectuant sur ses colonnes les transpositions successives $(j\ j+1),(j+1\ j+2),\dots ,(n-1\ n)$ , puis sur ses lignes les transpositions successives $(i\ i+1),(i+1\ i+2),\ldots ,(n-1\ n)$ (soit au total $(n-j)+(n-i)$ transpositions), et en réutilisant une remarque faite à propos des déterminants triangulaires (voir supra) : $\det \left(A'_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det {\begin{pmatrix}A_{i,j}&0\\L&1\end{pmatrix}}=(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})=\left(\operatorname {com} A\right)_{i,j}$ .
Se déduit du point précédent en utilisant la propriété $\det \left({}^{t}\!A\right)=\det(A)$ , qui donne $\operatorname {com} \left({}^{t}\!A\right)={}^{t}\!\left(\operatorname {com} A\right)$ .
Par transposition, il suffit de montrer l'une des deux égalités, par exemple l'égalité ${}^{t}\!\left(\operatorname {com} A\right)\;A=\det(A)\;\mathrm {I} _{n}$ . D'après le point 1, on a déjà l'égalité des termes diagonaux de ces deux matrices. Il reste à prouver que pour $k\neq j$ , $\sum _{i=1}^{n}(\operatorname {com} A)_{i,j}a_{i,k}=0$ . Or toujours d'après le point 1, cette somme est égale au déterminant de la matrice déduite de $A$ en remplaçant la $j$ -ème colonne par la $k$ -ième. Comme la matrice obtenue a deux colonnes égales, son déterminant est nul.

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