1. Si ${\displaystyle A}$ est inversible alors ${\displaystyle AB=A(BA)A^{-1}}$ donc ${\displaystyle AB}$ et ${\displaystyle BA}$ sont semblables. Le cas où ${\displaystyle B}$ est inversible s'en déduit ou se traite de même.
2. Pour les matrices

   ${\displaystyle A:={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ et ${\displaystyle B:={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$,

   on a ${\displaystyle AB=A}$ et ${\displaystyle BA=0}$.

1. Soient ${\displaystyle Q\in \mathrm {M} _{m}(K)}$ et ${\displaystyle P\in \mathrm {M} _{n}(K)}$ deux matrices inversibles telles que ${\displaystyle QB=AP}$.
   Notons ${\displaystyle a,b\in \mathrm {L} (K^{n},K^{m}),q\in \mathrm {L} (K^{m}),p\in \mathrm {L} (K^{n})}$ les applications linéaires représentées par ${\displaystyle A,B,Q,P}$ dans les bases canoniques de ${\displaystyle K^{m}}$ et ${\displaystyle K^{n}}$.
   • Puisque ${\displaystyle p}$ est surjective, ${\displaystyle \operatorname {Im} (a)=\operatorname {Im} (a\circ p)=\operatorname {Im} (q\circ b)}$.
   • Puisque ${\displaystyle q}$ est injective, elle transforme une base de ${\displaystyle \operatorname {Im} (b)}$ en une base de ${\displaystyle \operatorname {Im} (q\circ b)}$.

   Par conséquent, ${\displaystyle \operatorname {rang} (A)=\dim(\operatorname {Im} (a))=\dim(\operatorname {Im} (q\circ b))=\dim(\operatorname {Im} (b))=\operatorname {rang} (B)}$.

2. Soit à nouveau ${\displaystyle a\in \mathrm {L} (K^{n},K^{m})}$ l'application linéaire représentée par ${\displaystyle A}$ dans les bases canoniques. Soient ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{r})}$ une base de ${\displaystyle \operatorname {Im} (a)}$, ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{r}\in K^{n}}$ tels que ${\displaystyle a(e_{i})=f_{i}}$, et ${\displaystyle (e_{r+1},\dots ,e_{n})}$ une base de ${\displaystyle \operatorname {Ker} (a)}$. Alors, ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(e_{1},\dots ,e_{n})}$ est une base de ${\displaystyle K^{n}}$ et en complétant arbitrairement ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{r})}$ en une base ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$ de ${\displaystyle K^{m}}$, la matrice de ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle ({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')}$ est celle proposée, qui est donc équivalente à ${\displaystyle A}$. Elle est de même équivalente à ${\displaystyle B}$ si ${\displaystyle \operatorname {rang} (B)=r}$, donc ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont alors équivalentes.

1. 1. ${\displaystyle \{\mathrm {I} _{n}\}}$.
   2. ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(K)}$.
2. ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}}$ et ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$.

Soient ${\displaystyle n=\deg P}$, ${\displaystyle u\in \mathrm {L} (K^{n})}$ de polynôme caractéristique ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle e_{0}}$ un vecteur non nul de ${\displaystyle K^{n}}$, ${\displaystyle e_{k}:=u^{k}(e_{0})}$ pour tout entier ${\displaystyle k\geq 1}$, et ${\displaystyle F}$ le sous-espace engendré par ${\displaystyle (e_{0},\dots ,e_{n-1})}$. Alors, ${\displaystyle F}$ est stable par ${\displaystyle u}$ donc égal à ${\displaystyle K^{n}}$ (car le polynôme caractéristique de la restriction de ${\displaystyle u}$ à ${\displaystyle F}$ est un diviseur ${\displaystyle P}$), donc ${\displaystyle (e_{0},\dots ,e_{n-1})}$ est une base de ${\displaystyle K^{n}}$. La matrice de ${\displaystyle u}$ dans cette base est la matrice compagnon de ${\displaystyle P}$. Par conséquent, toute matrice dont le polynôme caractéristique est ${\displaystyle P}$ est semblable à cette matrice compagnon.