Module sur un anneau/Définitions

Ce premier chapitre peut être abordé dès le premier cycle universitaire ou en classes préparatoires en France, même si les notions sont souvent introduites en licence 3 ou en maitrise.

Dans tout ce chapitre, $(A,+,\times )$ désigne un anneau.

Définition d’un module sur un anneau

Définition

Un module (à gauche) sur A (ou A-module (à gauche)) est un groupe commutatif $(M,+)$ muni d’une loi externe $\cdot :A\times M\to M$ telle que ( $\forall \lambda ,\mu \in A\quad \forall x,y\in M$ ) :

$\lambda \cdot (x+y)=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y$ ;
$(\lambda +\mu )\cdot x=\lambda \cdot x+\mu \cdot x$ ;
$(\lambda \mu )\cdot x=\lambda \cdot (\mu \cdot x)$ ;
$1\cdot x=x$ .

Un sous-A-module est un sous-groupe $N$ de $(M,+)$ tel que $A\cdot N\subset N$ .

Remarque: Ces axiomes sont les mêmes que ceux d’un espace vectoriel. Lorsque l'anneau A est un corps, les A-modules sont donc les A-espaces vectoriels.

Exemple

A est un A-module et ses sous-A-modules sont ses idéaux.

Les $\mathbb {Z}$ -modules sont exactement les groupes commutatifs et les sous-modules d’un $\mathbb {Z}$ -module sont exactement ses sous-groupes.

Définition

Un morphisme de A-modules $f:M\rightarrow M'$ est un morphisme de groupes vérifiant : $\forall \lambda \in A\quad f(\lambda \cdot m)=\lambda \cdot f(m)$ .

Modules libres et de type fini

Une famille $\left(m_{i}\right)_{i\in I}$ de vecteurs de M est dite :

génératrice de M si le morphisme $A^{I}\to M:\left(a_{i}\right)_{i\in I}\mapsto \sum _{i\in I}a_{i}m_{i}$ est surjectif ;
libre lorsque ce morphisme est injectif.

Le module M est dit :

de type fini s'il possède une famille génératrice finie ;
libre s'il possède une base, c'est-à-dire une famille génératrice et libre.

Exemples

Tout anneau, vu comme module sur lui-même, est libre, de base $(1)$ .
Sur un corps, tous les modules (c'est-à-dire les espaces vectoriels) sont libres, et ceux qui sont de type fini sont les espaces vectoriels de dimension finie.
Les $\mathbb {Z}$ -modules de type fini sont les groupes de type fini commutatifs et les $\mathbb {Z}$ -modules libres sont les groupes abéliens libres.

Théorème

Pour un module libre M sur un anneau commutatif, toutes les bases ont même cardinal r, appelé le rang de M, et toutes les familles génératrices sont de cardinal au moins r.

Pour un espace vectoriel, la dimension d'un sous-espace est toujours inférieure ou égale à la dimension de l'espace. Mais pour un module M de type fini, un sous-module n'est pas nécessairement de type fini (même si M est libre). Par exemple pour un anneau $A:=B[X_{i}]_{i\in I}$ de polynômes en plusieurs indéterminées sur un anneau commutatif $B$ , l'idéal engendré par les $X_{i}$ (sous-module du $A$ -module $A$ ) n'est de type fini que si $I$ est fini. Cependant :

Théorème

Pour un module de type fini sur un anneau noethérien, tout sous-module est de type fini.

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