Exercice 4-1
Soit continue telle que .
Montrer que est constante et égale à 0 ou 1.
La fonction est continue, positive ou nulle et d'intégrale nulle. C'est donc la fonction nulle, c'est-à-dire que ne prend que les valeurs ou . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle ne prend que l'une de ces deux valeurs.
Exercice 4-2
Soit continue telle que
Montrer qu’il existe tel que
La fonction est continue et d'intégrale nulle donc elle est soit nulle, auquel cas n'importe quel convient, soit de signe non constant, auquel cas, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule en au moins un point .
Exercice 4-3
Montrer que la suite définie par converge et calculer sa limite.
Posons :
En divisant par les numérateurs et dénominateurs de la somme, on obtient :
On reconnaît une somme de Riemann de associée à la partition de en sous-segments. Or est continue et intégrable sur . Sa somme de Riemann converge donc vers . De plus, est une fraction rationnelle donc on en connaît une primitive : la fonction arctan.
Exercice 4-4
- Soient une fonction continue, T-périodique sur , et dans . Montrer que
Il suffit de faire un changement de variable et de poser . On a alors .
- Soient une fonction impaire sur , et . Que dire de ? Quid si est paire ?
Pour impaire, on a :
Pour paire, on a :
Exercice 4-5
Soit et de classe telle que . Montrer que :
Notons .
Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :
.
On conclut : .
Exercice 4-6
Soit et de classe . Montrer que :
.
Notons .
.
Exercice 4-7
Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », , p. 260, lemme 7.23
Soient , et une fonction continue telle que
.
Démontrer que .
Posons . Alors,
donc ,
si bien que .
Exercice 4-8
Soient et des fonctions continues sur un intervalle (avec ).
On suppose que est croissante et que prend ses valeurs dans . On pose :
- .
- Étudier les variations de la fonction définie par :
- .
- Montrer que .
- Comparer les fonctions et définies par :
- ;
- .
- Démontrer que :
- .
- Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
- donc est croissante, de à .
- donc .
- et donc .
- , avec égalité si et seulement si ou , ce qui a lieu par exemple si est constante ou si ou .
Exercice 4-9
Soient un nombre complexe de partie réelle strictement positive et une application de classe C1 telle que . Montrer que .
Exercice 4-10
Soient une application continue et .
- Montrer que si admet en une limite (finie ou infinie) alors .
- Donner un exemple où n'a pas de limite en mais .
- C'est un cas particulier de la seconde règle de l'Hôpital, compte tenu du théorème fondamental de l'analyse.
- convient ().
Exercice 4-11
Soient continues, strictement positives, et équivalentes en . Montrer que :
- si converge alors .
- si diverge alors .
Ce sont deux cas particulier respectivement des deux règles de l'Hôpital, compte tenu du théorème fondamental de l'analyse.
Exercice 4-12
Soient tels que et une fonction intégrable. Pour , on pose : .
- Soit un majorant de sur (pourquoi un tel existe-t-il ?). Montrer que pour tous on a : .
- En déduire que la fonction est continue sur .
- Par définition, il existe des fonctions étagées et sur telles que sur . Or une fonction étagée sur un segment ne prend qu'un nombre fini de valeurs, et est donc bornée. Il existe donc un réel tel que et sur . On a alors sur .
Soient alors . Par symétrie de l'inégalité attendue, on peut supposer par exemple que . Par la relation de Chasles, l'inégalité triangulaire puis la compatibilité de la relation d'ordre avec l'intégrale on a alors
. - La fonction est -lipschitzienne sur et donc en particulier continue.
Soient tels que et une fonction bornée, localement intégrable sur . Montrer que est intégrable sur .
Soit un majorant de sur . Soit . Posons . Sur , est intégrable donc il existe des fonctions en escalier telles que et . Quitte à les prolonger en prenant, sur et , et , on a sur tout entier, et .
Exercice 4-13
Soient tels que et une fonction de classe C1. Montrer que :
- .
Pour on a par intégration par parties
- .
Comme est de classe C1 sur le segment , il existe un réel qui majore à la fois et sur . On a alors
d'où le résultat.
Exercice 4-14
Pour on pose
- .
- Montrer que est de classe C1.
- Montrer que est impaire.
- Étudier les variations de sur .
- Soit .
- Montrer que pour tout on a : .
- En déduire que .
- Étudier la limite de quand tend vers .
Soit
- est C1 et .
- est impaire (donc aussi) car est paire.
- .
est donc croissante sur et décroissante sur . -
- La fonction est décroissante sur (par composition).
- D'après la majoration précédente, .
- Pour tout , donc par croissance comparée et théorème des gendarmes, .
Ou plus savamment et sans utiliser ce qui précède : (intégrale de Gauss) donc .