Fonctions circulaires réciproques/Fonction arctan

La fonction arc tangente

Définition

La fonction tangente étant strictement croissante et continue sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ , et de limites infinies aux bornes, à chaque réel $b$ correspond un unique nombre $a$ de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ tel que :

\tan(a)=b

.

On note :

a=\arctan(b)

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de arctan sur $\mathbb {R}$ . Elle se déduit de celle de tangente par une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice du repère.

Variations

Propriété

La fonction arctan est strictement croissante sur $\mathbb {R}$ .

Tableau de variation

x

-\infty

+\infty

\arctan

		$+{\frac {\pi }{2}}$
	$\nearrow$
$-{\frac {\pi }{2}}$

Dérivée

Théorème

La fonction arctan est dérivable sur $\mathbb {R}$ et sa dérivée vaut :

\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

.

Démonstration

Appliquons le théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque aux bijections ${\displaystyle f=\tan$ et ${\displaystyle f^{-1}=\arctan$ .

Puisque

\forall y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right[\quad \tan '(y)=1+\tan ^{2}y\neq 0

,

la fonction $\arctan$ est dérivable et

\forall x\in \mathbb {R} \quad \arctan '(x)={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan(x))}}={\frac {1}{1+x^{2}}}

.

Somme de deux arctan

Théorème

Si $xy\neq 1$ ,

\arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi

où

k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}

Démonstration

Supposons $xy\neq 1$ et posons $a=\arctan x,b=\arctan y$ et calculons la tangente de la somme :

\tan(a+b)={\frac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}={\frac {x+y}{1-xy}}.

Il suffit pour conclure de remarquer que

a+b\in {\begin{cases}\left]-\pi /2,\pi /2\right[&{\text{si }}xy<1,\\\left]\pi /2,\pi \right[&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\\left]-\pi ,-\pi /2\right[&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}

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