C'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, mais on peut la redémontrer en appliquant l'inégalité de Hölder pour ${\displaystyle p=q=2}$.

Considérons la fonction f définie par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \qquad f(x)=\ln(1+e^{x})}$

On a alors :

${\displaystyle f''(x)={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}}$

Par conséquent f est convexe.

En appliquant le corollaire, on obtient :

${\displaystyle \ln \left(1+e^{\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln(1+e^{x_{i}})}{n}}}$

Posons :

${\displaystyle x_{i}=\ln a_{i}}$

on obtient :

${\displaystyle \ln \left(1+e^{\sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln a_{i}}{n}}}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\ln(1+a_{i})}{n}}\Leftrightarrow \ln \left(1+\prod _{i=1}^{n}e^{\frac {\ln a_{i}}{n}}\right)\leqslant \ln \left(\prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\right)\Leftrightarrow 1+\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}$

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

${\displaystyle f}$ est continue (d'après la propriété 6) donc ${\displaystyle f\circ g}$ est, comme ${\displaystyle g}$, continue par morceaux donc :

${\displaystyle \int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g\left({\frac {k}{n}}\right)}$ et ${\displaystyle \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\circ g\left({\frac {k}{n}}\right)}$.

En utilisant l’inégalité de Jensen discrète, on obtient :

${\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}g\left({\frac {k}{n}}\right)\right)\leq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}f\circ g\left({\frac {k}{n}}\right)}$.

En faisant tendre ${\displaystyle n}$ vers l’infini, on en déduit :

${\displaystyle f\left(\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}g\left({\frac {k}{n}}\right)\right)\leq \int _{0}^{1}f\circ g(x)\,\mathrm {d} x}$.

Référence : Intégration et Probabilités (M43050) 2010–2011, cours 15 par Bernard Maurey, université Paris VII - Diderot.

1. Le résultat étant immédiat si ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \|f\|_{p}}$ ou ${\displaystyle \|g\|_{q}}$ est infini ou si ${\displaystyle fg}$ est nulle p.p., supposons que ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ sont finis et que ${\displaystyle \|f\|_{p}}$ et ${\displaystyle \|g\|_{q}}$ sont finis et non nuls et même, sans perte de généralité, égaux à ${\displaystyle 1}$ (par homogénéité).
   En appliquant l'inégalité de Young
   ${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p'}}{p'}}+{\frac {b^{q'}}{q'}}\quad \mathrm {\grave {a}} \quad a=|f|^{r},~b=|g|^{r},~p'={\tfrac {p}{r}},~q'={\tfrac {q}{r}}\quad ({\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1),}$
   on obtient, pour tout ${\displaystyle x\in \Omega }$,
   ${\displaystyle |f(x)g(x)|^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}|f(x)|^{p}+{\tfrac {1}{q'}}|g(x)|^{q}}$
   (avec égalité si et seulement si ${\displaystyle \left|f(x)\right|^{p}=\left|g(x)\right|^{q}}$) et, après intégration,
   ${\displaystyle {\|fg\|_{r}}^{r}\leq {\tfrac {1}{p'}}{\|f\|_{p}}^{p}+{\tfrac {1}{q'}}{\|g\|_{q}}^{q}={\tfrac {1}{p'}}+{\tfrac {1}{q'}}=1.}$
   On a donc bien
   ${\displaystyle \|fg\|_{r}\leq 1=\|f\|_{p}\|g\|_{q},}$
   avec égalité si et seulement si ${\displaystyle \left|f\right|^{p}=\left|g\right|^{q}}$ p.p.
2. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage.
3. Prendre ${\displaystyle f=1}$.
4. Supposons, comme dans la question 1, que ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ sont finis et que ${\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1}$.
   En appliquant le lemme à la mesure de probabilité à densité ${\displaystyle \nu$ :=|f|^{p}\mu } sur l'ensemble ${\displaystyle [f\neq 0]}$ et à la fonction ${\displaystyle G:=|f^{-p/q}~g|}$, on obtient
   ${\displaystyle \|fg\|_{\mathrm {L} ^{r}(\mu )}=\|G\|_{\mathrm {L} ^{r}(\nu )}\leq \|G\|_{\mathrm {L} ^{q}(\nu )}\leq \|g\|_{\mathrm {L} ^{q}(\mu )}=1}$.
   On peut de plus remarquer que l'égalité a lieu si et seulement s'il existe une constante ${\displaystyle C}$ telle que, μ-p.p.,
   ${\displaystyle {\Big (}{\big (}f(x)=0\Rightarrow g(x)=0{\big )}{\text{ et }}{\big (}f(x)\neq 0\Rightarrow G(x)=C{\big )}{\Big )}{\text{ i.e. }}|g(x)|^{q}=C^{q}|f(x)|^{p}}$.
5. Le cas ${\displaystyle q=+\infty }$ ou ${\displaystyle \|g\|_{q}=+\infty }$ est immédiat et le cas ${\displaystyle M}$ quelconque se ramène facilement au cas ${\displaystyle M=1}$ en divisant ${\displaystyle \mu }$ par ${\displaystyle M}$. Supposons donc que ${\displaystyle q<+\infty }$ et ${\displaystyle M=1}$, et montrons que pour toute fonction ${\displaystyle g\in \mathrm {L} ^{q}}$,
   ${\displaystyle \left(\int |g|^{r}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/r}\leq \left(\int |g|^{q}~\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}}$
   ou encore, en posant ${\displaystyle s=q/r}$, que pour toute fonction positive ${\displaystyle h\in \mathrm {L} ^{s}}$,
   ${\displaystyle \left(\int h\mathrm {d} \mu \right)^{s}\leq \int h^{s}~\mathrm {d} \mu }$.
   Le cas où ${\displaystyle h}$ est intégrable résulte de l'inégalité de Jensen intégrale appliquée à la fonction ${\displaystyle t\mapsto t^{s}}$, qui est convexe sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ car ${\displaystyle s\geq 1}$. Le cas général s'en déduit par convergence monotone.