• Soit ${\displaystyle (x,y)\in E^{2}}$. x et y sont orthogonaux lorsque ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =0}$.
• Soit ${\displaystyle x\in E}$ et A une partie de E. x est orthogonal à A si ${\displaystyle \forall a\in A\quad \langle a\mid x\rangle =0}$.
• Soient A et B deux parties de E. A et B sont orthogonales si ${\displaystyle \forall a\in A\quad \forall b\in B\quad \langle a\mid b\rangle =0}$.
• Si A une partie de E, on appelle orthogonal de A le sous-espace vectoriel ${\displaystyle A^{\perp }=\{x\in E\mid \forall a\in A\quad \langle x\mid a\rangle =0\}}$.

Soient A et B deux parties de E.

${\displaystyle A\subset B\Rightarrow B^{\perp }\subset A^{\perp }}$.

${\displaystyle A^{\perp }=(\mathrm {Vect} (A))^{\perp }}$.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

${\displaystyle (F+G)^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }}$.

${\displaystyle F^{\perp }+G^{\perp }\subset (F\cap G)^{\perp }}$.

${\displaystyle F\subset (F^{\perp })^{\perp }}$.

Un vecteur ${\displaystyle x\in E}$ est dit unitaire si ${\displaystyle \|x\|=1}$.

Soit v = ${\displaystyle (v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}$ une famille de vecteurs de E.

• v est orthogonale si ${\displaystyle \forall (i,j)\quad i\not =j\Rightarrow (v_{i}\mid v_{j})=0}$.
• v est orthonormale si

v est orthogonale et les ${\displaystyle v_{i}}$ sont unitaires

ou, ce qui est équivalent, ${\displaystyle \forall (i,j)\quad \langle v_{i}\mid v_{j}\rangle =\delta _{i,j}}$^[1].

${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}\quad \langle x\mid y\rangle =0\Rightarrow \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}}$.

La réciproque est fausse ! Contrairement au cas réel, on n'a pas l'équivalence car, d’après les formules de polarisation, ${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\Leftrightarrow \langle x\mid y\rangle \in \mathrm {i} \mathbb {R} }$, possibilité qui ne se présente pas dans un espace préhilbertien réel.

Théorème de Pythagore généralisé :

Soit ${\displaystyle (v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})}$ une famille orthogonale de E.

On a ${\displaystyle \left\|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}}$

Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.

Alors ${\displaystyle E=F\oplus F^{\perp }}$.