Espace préhilbertien complexe/Produit scalaire

Définitions

Positivité

Soit $f:E^{2}\to \mathbb {C}$ à symétrie hermitienne.

ƒ est positive ssi $\forall x\in E,~f(x,x)\geq 0$
ƒ est définie positive ssi $\forall x\in E\backslash \{0\},~f(x,x)>0$

Exemple

Dans l'espace vectoriel $E={\mathcal {C}}([0;1],\mathbb {C} )$ , on pose l'application ${\begin{array}{ccccl}\psi &:&E^{2}&\rightarrow &\mathbb {C} \\~&~&(f,g)&\mapsto &\displaystyle {\int _{0}^{1}{\frac {{\overline {f(t)}}g(t)}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,{\rm {d}}t}\end{array}}$

ψ est une application à symétrie hermitienne définie positive.

En effet, $\psi (f,f)=0\Rightarrow \int _{0}^{1}{\frac {|f(t)|^{2}}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,{\rm {d}}t=0\Rightarrow f=0$

Produit scalaire

Produit scalaire complexe

Soit $f:E^{2}\to \mathbb {C}$

ƒ est un produit scalaire complexe sur E ssi ƒ est une application sesquilinéaire à symétrie hermitienne définie positive sur E.

On notera que, en se restreignant à $\mathbb {R}$ , la définition du produit scalaire devient : forme bilinéaire symétrique définie positive.

Espaces préhilbertiens complexes

Définition

On appelle espace préhilbertien complexe tout $\mathbb {C}$ -espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

Si de plus, E est de dimension finie, on parle d'espace hermitien.

On suppose désormais que E est un espace préhilbertien complexe, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.

Convention de notation

On notera ce produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$ au lieu de $f(\cdot ,\cdot )$ .

Norme, distance

Définition

On définit sur E la norme préhilbertienne complexe ||.||, c'est-à-dire associée au produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$ , par $\forall x\in E,~||x||={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$ .

Définition

On définit la distance d associée à la norme ||.|| comme étant l’application :

${\begin{array}{ccccc}d&:&E^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&(x,y)&\mapsto &||x-y||\end{array}}$

Propriétés

Inégalité de Cauchy-Schwarz

$\forall (x,y)\in E^{2}\quad |\langle x\mid y\rangle |^{2}\leq \langle x\mid x\rangle \langle y\mid y\rangle$ .

On a égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.

Démonstration

Soient $x,y\in E$ . Lorsque $y=0$ , l'énoncé est clairement vrai. Par conséquent, on supposera $y\neq 0$ .

Inégalité

Posons, pour tout nombre complexe $\lambda$ ,

P(\lambda )=\left\|x+\lambda y\right\|^{2}

.

P(\lambda )=\langle x+\lambda y\mid x+\lambda y\rangle =\left\|x\right\|^{2}+\langle x\mid \lambda y\rangle +\langle \lambda y\mid x\rangle +\left|\lambda \right|^{2}\left\|y\right\|^{2}

.

On a supposé que le produit scalaire hermitien $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ est linéaire à droite et semi-linéaire à gauche, donc $\langle x\mid \lambda y\rangle =\lambda \langle x\mid y\rangle$ et $\langle \lambda y\mid x\rangle ={\overline {\lambda }}\langle y\mid x\rangle ={\overline {\lambda \langle x\mid y\rangle }}$ , d'où :

P(\lambda )=\left\|x\right\|^{2}+\lambda \langle x\mid y\rangle +{\overline {\lambda \langle x\mid y\rangle }}+\left|\lambda \right|^{2}\left\|y\right\|^{2}

.

Si l'on pose

\lambda _{0}=-{\overline {\langle x\mid y\rangle }}/\left\|y\right\|^{2}

,

on trouve

P(\lambda _{0})=\left\|x\right\|^{2}-|\langle x\mid y\rangle |^{2}/\left\|y\right\|^{2}

d'où, en utilisant que $P(\lambda _{0})\geq 0$ :

\left|\langle x\mid y\rangle \right|^{2}/\left\|y\right\|^{2}\leq \left\|x\right\|^{2}

,

dont on déduit l'inégalité annoncée.

Un calcul montre que $P(\lambda )=P(\lambda _{0})+\left\|y\right\|^{2}|\lambda -\lambda _{0}|^{2}\geq P(\lambda _{0})$ , donc $\lambda _{0}$ n'est autre que la valeur en laquelle l'application $P$ atteint son minimum sur $\mathbb {C}$ .

(Si le produit scalaire hermitien était semi-linéaire à droite et linéaire à gauche, le minimum serait atteint pour $\lambda _{0}=-\langle x\mid y\rangle /\left\|y\right\|^{2}$ .)

Cas d'égalité

Si $\left|\langle x\mid y\rangle \right|^{2}=\langle x\mid x\rangle \langle y\mid y\rangle$ alors, pour $\lambda _{0}$ comme ci-dessus, $\left\|x+\lambda _{0}y\right\|^{2}=P(\lambda _{0})=0$ donc $y=-\lambda _{0}x$ , si bien que $(x,y)$ est liée. La réciproque est évidente.

Identité du parallélogramme

$\forall (x,y)\in E^{2},~||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2||x||^{2}+2||y||^{2}$

Formules de polarisation

$\forall (x,y)\in E^{2},~||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y||^{2}+2\Re (\langle x|y\rangle )$
$\forall (x,y)\in E^{2},~4\langle x|y\rangle =||x+y||^{2}-||x-y||^{2}+i||y+ix||^{2}-i||y-ix||^{2}$

Démonstration

L'identité du parallélogramme et la première des deux formules de polarisation se démontrent sans difficulté en développant et regroupant les termes.

Seule la dernière nécessite de s'y prendre intelligemment pour ne pas s'embourber : il faut faire les bonnes combinaisons.

Soit $(x,y)\in E^{2}$

D'après la première formule de polarisation :

||x+y||^{2}-||x-y||^{2}=4\Re (\langle x|y\rangle )

De même :

||y+ix||^{2}-||y-ix||^{2}=4\Re (\langle ix|y\rangle )=-4i\Re (\langle x|y\rangle )

On obtient alors facilement le résultat.

Exemples fondamentaux

Produit scalaire et norme dans Cⁿ

$E=\mathbb {C} ^{n}$ muni du produit scalaire usuel $\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}$

La norme associée est la norme préhilbertienne complexe : $\forall x\in E,~||x||={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (x,y)\in E^{2},~\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{2}\right)$

Produit scalaire et norme dans C([a,b])

$E={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )$ muni du produit scalaire $\forall (f,g)\in E^{2},~\langle f|g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(t)}}g(t)~\mathrm {d} t$

La norme associée est $\forall f\in E,~||f||={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}~\mathrm {d} t}}$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (f,g)\in E^{2},~\left(\int _{a}^{b}{\overline {f(t)}}g(t)~\mathrm {d} t\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}~\mathrm {d} t\right)\left(\int _{a}^{b}|g(t)|^{2}~\mathrm {d} t\right)$

Produit scalaire et norme dans l²(C)

$E=\ell ^{2}(\mathbb {C} )$ muni du produit scalaire $\forall (u,v)\in E^{2},~\langle u|v\rangle =\sum _{n=0}^{+\infty }{\overline {u_{n}}}v_{n}$

La norme associée est $\forall u\in E,~||u||={\sqrt {\sum _{n=0}^{+\infty }|u_{n}|^{2}}}$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (u,v)\in E^{2},~\left(\sum _{n=0}^{+\infty }{\overline {u_{n}}}v_{n}\right)^{2}\leq \left(\sum _{n=0}^{+\infty }|u_{n}|^{2}\right)\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|v_{n}|^{2}\right)$

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