1. On applique le procédé général (valable pour toute E.D. d'ordre n, même non linéaire ni sous forme résolue), en posant
   ${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y^{(n-1)}\\\vdots \\y'\\y\end{pmatrix}}}$.
   L'équation devient, pour une E.D. linéaire sous forme résolue comme ici : ${\displaystyle Y'=AX}$, avec
   ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{n-1}&a_{n-2}&\dots &a_{1}&a_{0}\\1&0&\dots &0&0\\0&1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&0\end{pmatrix}}}$.
2. Si les fonctions ${\displaystyle a_{j}}$ sont des constantes, ${\displaystyle A}$ est la matrice compagnon de son polynôme caractéristique, ${\displaystyle P(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots -a_{1}X-a_{0}}$ (au signe près et à transposition près de la matrice, selon les auteurs). Plus précisément :
   ${\displaystyle \det \left(X\mathrm {I} _{n}-A\right)=\left|{\begin{matrix}X-a_{n-1}&-a_{n-2}&\dots &-a_{1}&-a_{0}\\-1&X&\dots &0&0\\0&-1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1&X\end{matrix}}\right|=}$
   en ajoutant à la dernière colonne ${\displaystyle C_{n}}$ la combinaison linéaire ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}X^{n-k}C_{k}}$ des colonnes précédentes, puis en développant suivant cette dernière colonne :
   ${\displaystyle \left|{\begin{matrix}X-a_{n-1}&-a_{n-2}&\dots &-a_{1}&P(X)\\-1&X&\dots &0&0\\0&-1&\dots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1&0\end{matrix}}\right|=(-1)^{n-1}P(X)\left|{\begin{matrix}-1&X&\dots &0\\0&-1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &-1\end{matrix}}\right|=P(X)}$.
   Pour l'utilité de ce résultat, voir « Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants » sur Wikipédia.

Cette équation différentielle s'écrit aussi ${\displaystyle x^{2}y''-N\left(N-1\right)y+C(xy''+Ny')=0}$.

1. Si ${\displaystyle y=x^{\alpha }}$ alors ${\displaystyle xy'=\alpha y}$ et ${\displaystyle xy''=\left(\alpha -1\right)y'}$ donc
   ${\displaystyle x\left(x+C\right)y''+CNy'-N\left(N-1\right)y=\left[(\alpha -1)\alpha -N\left(N-1\right)\right]y+C(\alpha -1+N)y'=0}$ si ${\displaystyle \alpha =-N+1}$.
2. Pour ${\displaystyle y(x)=\sum _{k=0}^{d}a_{k}x^{k}}$ avec ${\displaystyle a_{d}\neq 0}$, l'équation différentielle se traduit par :
   • ${\displaystyle d\left(d-1\right)=N\left(N-1\right)}$
   • ${\displaystyle \forall n<d\quad a_{n}\left[n\left(n-1\right)-N\left(N-1\right)\right]+Ca_{n+1}\left(n+1\right)\left(n+N\right)=0}$

   c'est-à-dire : ${\displaystyle d=N}$ et ${\displaystyle a_{d-1},\dots ,a_{0}}$ déterminés de proche en proche en fonction de ${\displaystyle a_{d}}$. Il existe donc une solution polynomiale de degré ${\displaystyle N}$.

1. Soit ${\displaystyle y}$ une solution ; posons ${\displaystyle z\left(t\right)=y\left(t+T\right)}$. Alors, ${\displaystyle z'\left(t\right)=y'\left(t+T\right)=-a\left(t+T\right)y\left(t+T\right)+b\left(t+T\right)=-a\left(t\right)z\left(t\right)-b\left(t\right)}$.
2. Soit ${\displaystyle y}$ une solution vérifiant ${\displaystyle y\left(T\right)=y\left(0\right)}$. Alors, la solution ${\displaystyle z}$ de la question précédente coïncide avec ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle 0}$ donc partout, d'après l'unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz (qui s'applique ici car la fonction ${\displaystyle \left(t,x\right)\mapsto -a\left(t\right)x-b\left(t\right)}$ est bien continue, et localement lipschitzienne par rapport à ${\displaystyle x}$).
3. Revoir « Équation différentielle linéaire du premier ordre » (niveau 13).
   Si ${\displaystyle \Phi \left(t\right)=\int _{0}^{t}a(s)\ \mathrm {d} s}$ (la primitive de ${\displaystyle a}$ qui s'annule en ${\displaystyle 0}$),
   ${\displaystyle y\left(T\right)=\mathrm {e} ^{-\Phi \left(T\right)}\left(y\left(0\right)-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{\Phi \left(t\right)}\,\mathrm {d} t\right)}$, ce qui est bien la formule annoncée.
   On en déduit les équivalences suivantes :
   ${\displaystyle y}$ est ${\displaystyle T}$-périodique ${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle y\left(0\right)\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t=y\left(0\right)}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{T}a\left(t\right)\ \mathrm {d} t}-1\right)y\left(0\right)=\int _{0}^{T}b\left(t\right)\mathrm {e} ^{-\int _{t}^{T}a\left(s\right)\ \mathrm {d} s}\ \mathrm {d} t}$.

1. S'il existait une suite de zéros de ${\displaystyle f}$ distincts de ${\displaystyle a}$ et convergeant vers ${\displaystyle a}$, on en déduirait, en appliquant le théorème de Rolle successivement à ${\displaystyle f,f',\dots ,f^{\left(k-1\right)}}$, une suite de zéros de ${\displaystyle f^{\left(k\right)}}$ convergeant vers ${\displaystyle a}$, ce qui (par continuité de ${\displaystyle f^{\left(k\right)}}$) contredirait l'hypothèse ${\displaystyle f^{\left(k\right)}\left(a\right)\neq 0}$.
2. Si ${\displaystyle a}$ est un zéro non isolé d'une solution ${\displaystyle y}$, on en déduit, par le même raisonnement que dans la question précédente, que c'est aussi un zéro de ${\displaystyle y^{\left(k\right)}}$ pour tout ${\displaystyle k}$ de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle n-1}$. Les ${\displaystyle n}$ valeurs au point ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle y,y',\dots ,y^{\left(n-1\right)}}$ déterminent entièrement la solution de l'équation différentielle et coïncident avec celles de la solution nulle, donc ${\displaystyle y=0}$.

1. Soit ${\displaystyle g\left(x\right)=\int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t}$. Alors, ${\displaystyle g'\left(x\right)=\int _{0}^{x}f\left(t\right)\cos \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t}$ et ${\displaystyle g''\left(x\right)=f\left(x\right)-\int _{0}^{x}f\left(t\right)\sin \left(x-t\right)\ \mathrm {d} t}$ donc ${\displaystyle g''+g=f}$. Dès lors, les solutions de ${\displaystyle \left({\mathcal {E}}\right)}$ sont :
   ${\displaystyle y=g+\lambda \cos +\mu \sin \quad \left(\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \right)}$.
2. D'après la question précédente, les solutions de ${\displaystyle \left({\mathcal {E}}\right)}$ sont bornées si et seulement si ${\displaystyle g}$ l'est.
   Si ${\displaystyle \left|f\left(t\right)\right|\leq {\frac {1}{1+t^{2}}}}$ alors ${\displaystyle \left|g\left(x\right)\right|\leq \left|\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+t^{2}}}\ \mathrm {d} t\right|=\left|\arctan x\right|\leq {\frac {\pi }{2}}}$.
   En revanche, si par exemple ${\displaystyle f=\sin }$ (bornée) alors ${\displaystyle g\left(x\right)={\frac {\sin x-x\cos x}{2}}}$ (non bornée).

1. Soit ${\displaystyle \omega =\omega _{1}-\omega _{2}}$. En supposant par exemple ${\displaystyle \alpha _{1}\neq 0}$, l'hypothèse peut se mettre sous la forme ${\displaystyle \lim _{t\to \pm \infty }{\mathrm {e} ^{\omega t}}=\beta }$, ce qui n'est possible que si ${\displaystyle \omega =0}$.
2. Si ${\displaystyle a^{2}-4b\neq 0}$, la seule solution ${\displaystyle y}$ vérifiant ${\displaystyle \lim _{\pm \infty }y=0}$ est la fonction nulle.