Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre

Équations différentielles linéaires du premier ordre

a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)

.

(Pour les définitions, revoir le chapitre 1.)

Exemples

Préciser les valeurs de $a(x)$ , $b(x)$ et $c(x)$ dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.

xf'(x)-3f(x)=\sin x

Solution

$a(x)=x,b(x)=-3,c(x)=\sin x$ . Équation homogène associée : $xf'(x)-3f(x)=0$ .

Préciser les valeurs de $a(t)$ , $b(t)$ et $c(t)$ dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée, sachant que la variable est $t$ et que la fonction inconnue est notée $y$ .

t^{2}y'(t)-3y(t)=\sin t

.

Solution

$a(t)=t^{2},b(t)=-3,c(t)=\sin t$ . Équation homogène associée : $t^{2}y'(t)-3y(t)=0$ .

Espaces vectoriels

La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.

Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Sa direction est le sous-espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.

Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.

Théorème

Les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 sont la somme d'une solution à l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète.

La condition initiale

L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,
le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.
Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
- un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre $f(x)$ qui dépend de la variable $x$ (en général le temps) ;
- la connaissance de cet état à un instant donné détermine l'état du système à tout instant. C'est ce qu'on appelle la condition initiale.

Théorème de Cauchy

Deux nombres $x_{0}$ et $y_{0}$ étant donnés, il existe une unique solution à une équation différentielle linéaire d'ordre 1 vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$ .

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c\left(x\right)

(Pour les définitions, revoir le chapitre 1.)

Le théorème suivant est une reformulation du résultat principal du chapitre précédent.

Théorème

Dans le cas particulier où le second membre $c$ est également constant, l'ensemble des solutions de l'équation complète $af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c$ est : $S=\left\{Ae^{-{\frac {b}{a}}x}+{\frac {c}{b}}\mid A\in \mathbb {C} \right\}$ .

(C'est en particulier le cas si l'équation est homogène : $c=0$ .)

Remarque

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque $t\to \infty$ . Si a et b sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers $\pm \infty$ .

Cas général : équations à coefficients variables

On suppose que les fonctions $a,b,c$ sont continues.

Équation homogène associée

Solutions de l'équation homogène

L'ensemble des solutions de l'équation homogène $a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=0$ est : $\left\{A\mathrm {e} ^{-\Phi \left(x\right)}\mid A\in \mathbb {C} \right\}$

où $\Phi$ est une primitive de la fonction ${\frac {b}{a}}$ .

C'est un cas particulier du théorème suivant.

Équation complète

Solution complète de l'équation différentielle

Pour $x_{0}$ fixé, l'ensemble des solutions générales de l'équation différentielle d'ordre 1 est :

$\left\{\left[A+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {c\left(s\right)}{a\left(s\right)}}\operatorname {e} ^{+\Phi \left(s\right)}\,\mathrm {d} s\right]\operatorname {e} ^{-\Phi \left(x\right)}\mid A\in \mathbb {C} \right\}$

où $\Phi$ est une primitive de la fonction ${\frac {b}{a}}$ .

Démonstration

Par changement de fonction inconnue $g:=f\mathrm {e} ^{\Phi }$ , l'équation $af'+bf=c$ devient successivement :

a\left(g\mathrm {e} ^{-\Phi }\right)'+bg\mathrm {e} ^{-\Phi }=c

a\left(g'-\Phi 'g\right)+bg=c\mathrm {e} ^{+\Phi }

g'={\frac {c}{a}}\mathrm {e} ^{+\Phi }

g\left(x\right)=A+\int _{x_{0}}^{x}{\frac {c\left(s\right)}{a\left(s\right)}}\mathrm {e} ^{+\Phi \left(s\right)}\,\mathrm {d} s

(où

A

est une constante arbitraire),

d'où le résultat annoncé pour $f=g\mathrm {e} ^{-\Phi }$ .

Remarques

On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.

Exemples

Résoudre sur $\left]0,+\infty \right[$ les équations suivantes :

$xy'-4y=0$ ;
$x^{2}y'+y=0$ ;
$xy'-2y=3x^{2}$ .

Solution

Une primitive de $-{\frac {4}{x}}$ est $-\ln \left(x^{4}\right)$ donc la solution est $y=A\operatorname {e} ^{\ln \left(x^{4}\right)}=A\left(x^{4}\right)$ ( $A\in \mathbb {R}$ ).
Une primitive de ${\frac {1}{x^{2}}}$ est $-{\frac {1}{x}}$ donc la solution est $y=A\operatorname {e} ^{1/x}$ ( $A\in \mathbb {R}$ ).
Une primitive de $-{\frac {2}{x}}$ est $-\ln \left(x^{2}\right)$ donc la solution de l'équation homogène est $y=A\operatorname {e} ^{\ln \left(x^{2}\right)}=Ax^{2}$ ( $A\in \mathbb {R}$ ). Pour résoudre l'équation avec second membre, on pose donc $y(x)=x^{2}A(x)$ . L'équation équivaut alors à $A'={\frac {3}{x}}$ , c'est-à-dire $A(x)=3\ln x+C$ donc la solution est $y(x)=3x^{2}\ln x+Cx^{2}$ ( $C\in \mathbb {R}$ ).

Exemple en physique

Considérons le cas d'un mobile de masse variable supposée connue et unité à l'origine (comme un mobile qui brûlerait du carburant et s'allégerait), soumis à une force sinusoïdale.

Le principe fondamental de la dynamique donne :

{\dot {p}}=F_{0}\sin(\omega _{0}t)

Déterminer v en fonction de t.

Solution

On a ainsi l'équation :

m(t)v'(t)+v(t)m'(t)=F_{0}\sin(\omega _{0}t)

.

Posons le problème sous la forme canonique :

v'(t)+{\frac {m'(t)}{m(t)}}v(t)-{\frac {F_{0}}{m(t)}}\sin(\omega _{0}t)=0

.

Les solutions sont, d’après la formule générale, de la forme :

v(t)=\left[A+\int _{0}^{t}{\frac {F_{0}}{m(s)}}\sin(\omega _{0}s)\operatorname {e} ^{+\Phi \left(s\right)}\,\mathrm {d} s\right]\operatorname {e} ^{-\Phi \left(t\right)}

avec

\Phi :t\mapsto \int _{0}^{t}{\frac {m'(s)}{m(s)}}\,\mathrm {d} s=\ln m(t)

donc :

v(t)=-Am(t)-F_{0}\int _{0}^{t}\sin(\omega _{0}s)m(s)\,\mathrm {d} s

.

On note v₀ la vitesse à l'origine des temps, alors, trivialement, A = -v₀. Pour conserver l'homogénéité, indiquons toutefois la masse m₀ = 1. La solution est donc :

v(t)={\frac {m(t)}{m_{0}}}v_{0}-F_{0}\int _{0}^{t}\sin(\omega _{0}s)m(s)\,\mathrm {d} s

.

Sans préciser m davantage, on ne peut pas en dire plus — mais c’est déjà beaucoup. Celle-ci connue, une intégration par parties suffira probablement à déterminer complètement v.

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