Introduction sur les équations différentielles en général
Une équation différentielle (E.D.) d'ordre n est une égalité liant une fonction et ses n premières dérivées. On peut l'écrire de la manière la plus générale :
où est une fonction de n + 1 variables et c une fonction de la variable x.
On appelle solution de l'E.D. toute fonction définie et dérivable sur un intervalle et vérifiant cette relation.
Résoudre une telle E.D. signifie : déterminer l'ensemble de ses solutions.
- Remarques
- Les E.D. font donc partie des équations fonctionnelles, dont l'inconnue est une fonction, et non un nombre.
- Il existe une grande variété d'équations différentielles, et elles sont en général beaucoup plus difficiles à résoudre que les exemples classiques. On se limitera dans ce cours à ces derniers.
Équations différentielles linéaires
Une équation différentielle d'ordre 1 est dite linéaire si elle est de la forme :
où sont trois fonctions (à valeurs complexes) de la variable réelle, ne s'annulant pas.
L’équation homogène associée à cette dernière est :
Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Un cas particulier important concerne le cas où les fonctions et sont constantes, la fonction c ne l'étant pas nécessairement :
Une équation différentielle linéaire d'ordre 1 est dite à coefficients constants si elle est de la forme :
où et sont deux nombres complexes et une fonction.
