Primitive d'une fonction sur un intervalle
Définition
f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que, pour tout x appartenant à I : F'(x) est égale à f(x).
Exemple
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Soit la fonction définie sur ℝ par . La fonction définie sur ℝ par est une primitive de sur ℝ. La fonction définie sur ℝ par est une autre primitive de sur ℝ.
Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle
f est une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives qui sont toutes de la forme : F(x) + k (k étant un réel).
Primitive prenant une valeur donnée en un point
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Soit une fonction admettant des primitives sur un intervalle .
Pour tout et tout , il existe (sur ) une primitive de et une seule telle que .
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On définit la fonction sur ℝ par . Déterminer la primitive de telle que .
Les primitives de sur ℝ sont les fonctions définies sur ℝ par ( est un réel).
.
La primitive de telle que est donc , c'est-à-dire la fonction définie sur ℝ par .
Calculs de primitives
l'une des primitives de la fonction est... | sur l'intervalle... | |
() | ℝ | |
() | ℝ | |
( nombre entier avec ) | ]-∞, 0[ ou ]0, +∞[ | |
]0, +∞[ | ||
]0, +∞[ | ||
ℝ | ||
ℝ | ||
ℝ |
Exemple
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Soit définie sur ℝ par .
Les primitives de sur ℝ sont les fonctions de la forme
où est une constante appartenant à ℝ.
Primitives et opérations sur les fonctions:
- Si F et G sont deux primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
- Si F est une primitive de f sur I et λ un réel, alors λF est une primitive de λf sur I.
Primitives des fonctions composées
Soit une fonction dérivable sur I.
f(x)=... | F(x)=... | Condition : |
(n ∈ ℕ*) | ||
(n entier ≥ 2) | sur | |
sur | ||
sur | ||
Exemples
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Soit
Avec ici : et .
Donc l'une des primitives de sur ]-∞, –1[ ou ]1, +∞[ est
- ,
soit : .
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Soit .
Avec ici : et .
Donc l'une des primitives de sur ℝ est
- ,
soit : .
Méthode pour les fonctions composées
- On commence par identifier la formule à utiliser.
- Puis, si nécessaire, on multiplie par un coefficient pour faire apparaître l’expression de u' souhaitée et conclure sur la primitive.