Ce chapitre traite de l'étude des inéquations du second degré, comme ${\displaystyle (I)~:~2x^{2}-3x+1\leq 0}$ d'inconnue x.

Signe d'un trinôme

Résolution d'une inéquation du second degré

On sait, pour une fonction trinôme donnée, déterminer :

• ses variations
• ses racines

À partir de ces renseignements, on peut établir le tableau de signes de la fonction trinôme.

Soit f le polynôme tel que f(x) = ax² + bx + c et soit Δ son discriminant.

• 1^er cas : Δ > 0, on a deux racines x₁ et x₂ où x₁ < x₂.

  valeurs de x	−∞ x1 x2 +∞
  signe de f(x)	signe de a 0 opposé du signe de a 0 signe de a

• 2^e cas : Δ = 0, on a une racine double x₀.

  valeurs de x	−∞ x0 +∞
  signe de f(x)	signe de a 0 signe de a

• 3^e cas : Δ < 0, on n'a aucune racine.

  valeurs de x	−∞ +∞
  signe de f(x)	signe de a

  Pour étudier le signe d'un trinôme du second degré, il suffit juste de connaitre ses racines. Il est inutile de le factoriser.

  Le lien entre graphique et expression algébrique : étudier le signe d'une expression f(x) revient à déterminer la position de la courbe représentative de f par rapport à l'axe des abscisses.

  • Si la courbe est au-dessus l'axe des abscisses, alors f(x) est positive.
  • Si la courbe est en-dessous l'axe des abscisses, alors f(x) est négative.

  Voir les exercices sur : Situation économique conduisant à une étude de signe.

  
  

  Début d’un théorème
  

  Résumé

  Le trinôme est du signe de a sauf pour les valeurs de x situés entre les racines éventuelles.

  Fin du théorème

  Exemples

  Début de l'exemple

  

  Exemple détaillé

  Résoudre l'inéquation −3x² + 4x − 1 < 0.

  Solution

  Soit ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ avec a = −3, b = 4 et c = −1.

  ${\displaystyle \Delta =4^{2}-4\times (-3)\times (-1)=16-12=4>0}$

  donc P a deux racines :

  ${\displaystyle x_{1}={\frac {-4-{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4-2}{-6}}={\frac {-6}{-6}}=1}$

  et

  ${\displaystyle x_{2}={\frac {-4+{\sqrt {4}}}{2\times (-3)}}={\frac {-4+2}{-6}}={\frac {-2}{-6}}={\frac {1}{3}}}$.

  Comme a < 0, on a le tableau de signes suivant :

  
  

  valeurs de x	-∞ 1/3 1 +∞
  signe de P(x)	– 0 + 0 –

  Donc S = ]–∞, 1/3[ ∪ ]1, +∞[.

   

  Fin de l'exemple

  Début de l'exemple

  

  Autres exemples

  Donner les tableaux de signes des fonctions suivantes. Vérifier la cohérence avec les courbes obtenues précédemment. Résoudre ensuite pour chaque fonction l'inéquation ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ d'inconnue ${\displaystyle x}$.

  • ${\displaystyle f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1}$ ;
  • ${\displaystyle f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2}$ ;
  • ${\displaystyle f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3}$ ;
  • ${\displaystyle f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x}$.

  Solution

  • ${\displaystyle f_{1}:x\mapsto 2x^{2}+3x+1}$

  Le discriminant est ${\displaystyle \Delta =1>0}$ donc ${\displaystyle f_{1}}$ admet deux racines réelles : ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$.

  ${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&-{\frac {1}{2}}&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~f_{1}(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}}$

  ${\displaystyle f_{1}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in ]+\infty ,-1]\cup \left[-{\frac {1}{2}},+\infty \right[}$

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  • ${\displaystyle f_{2}:x\mapsto x^{2}-2x+2}$

  Le discriminant est ${\displaystyle \Delta =-4<0}$ donc ${\displaystyle f_{2}}$ n'admet aucune racine réelle.

  ${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|}x&-\infty &&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{2}(x)&&+&\\\hline \end{array}}}$

  Pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)\geq 0}$.

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  • ${\displaystyle f_{3}:x\mapsto -x^{2}+3}$

  Le discriminant vaut ${\displaystyle \Delta =12>0}$, donc ${\displaystyle f_{3}}$ admet deux racines réelles : ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$ et ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$.

  ${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\sqrt {3}}&&{\sqrt {3}}&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{3}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}$

  ${\displaystyle f_{3}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}\right]}$.

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  • ${\displaystyle f_{4}:x\mapsto -3x^{2}-x}$

  Le discriminant est ${\displaystyle \Delta =1>0}$, donc ${\displaystyle f_{4}}$ admet deux racines réelles : ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}}$.

  ${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{3}}&&0&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}f_{4}(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}}}$

  ${\displaystyle f_{4}(x)\geq 0\Leftrightarrow x\in \left[-{\frac {1}{3}},0\right]}$.

   

  Fin de l'exemple