Équations et fonctions du second degré/Exercices/Situation économique conduisant à une étude de signe

Une entreprise fabrique une quantité x d'un produit, compris dans l'intervalle [0, 20].

Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par $f:x\mapsto x^{3}-30x^{2}+300x$ .

La production est vendue à un prix unitaire de 84 000 €.

Exprimer en fonction de x le chiffre d'affaire total r(x).
Exprimer en fonction de x le bénéfice b(x) = r(x) – f(x) (en déduisant les coûts de production).
Étudier le signe du polynôme b et interpréter le résultat en termes de bénéfice. Pour ce faire :
1. Mettre x en facteur dans l’expression de b(x).
2. Étudier le signe du facteur de degré 2.
3. Étudier alors le signe de b(x).
Conclure en termes de bénéfice.

Solution

La fonction r est la fonction linéaire définie par $r:x\mapsto 84000x$ (le résultat est exprimé en €).
La fonction bénéfice est définie par $b:x\mapsto -x^{3}+30x^{2}+83700x$ .
1. Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{+},~b(x)=x(-x^{2}+30x+83700)$
2. Le discriminant du polynôme de degré 2 vaut :
  ${\begin{aligned}\Delta &=30^{2}-4\times (-1)\times 83700\\&=900+334800\\&=335700.\end{aligned}}$
3. On calcule les racines du polynôme :
  ${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}&={\frac {-30-{\sqrt {335700}}}{-2}}&={\frac {30(1+{\sqrt {373}})}{2}}&=15(1+{\sqrt {373}}),\\x_{2}&={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}&={\frac {-30+{\sqrt {335700}}}{-2}}&={\frac {30(1-{\sqrt {373}})}{2}}&=15(1-{\sqrt {373}}).\end{aligned}}$
  Comme le coefficient du terme de degré 2 est négatif, le trinôme est positif sur l'intervalle $[x_{1},x_{2}]$ et négatif ailleurs. On trace alors le tableau de signes de b. On rappelle qu'on ne s'intéresse qu'aux valeurs x positives, aussi on restreint le tableau à $[0,+\infty [$ .
  Si l'on regarde le signe de x₁ et x₂, on s'aperçoit que $x_{1}>304>0$ et $x_{2}<-274<0$ .
  ${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&15(1+{\sqrt {373}})&&+\infty \\\hline {\text{Signe de }}-x^{2}+30x+83700&&+&0&-&\\\hline {\text{Signe de }}x&&+&&+&\\\hline {\text{Signe de }}b(x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}}$
On ne s'intéresse qu'au cas où la société produit une quantité inférieure à 20. Dans ce cas, b reste positive. L’entreprise est donc rentable.

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