Théorème de Donsker

En théorie des probabilités, le théorème de Donsker établit la convergence en loi d'une marche aléatoire vers un processus stochastique gaussien. Il est parfois appelé le théorème central limite fonctionnel.

Simulations de X_n de n=100 à n=800 avec U de loi uniforme sur l'ensemble {-1,1}

Ce théorème est une référence pour la convergence en loi de marches aléatoires renormalisées vers un processus à temps continus. De nombreux théorèmes sont alors dits de « type Donsker ».

Énoncé classique

Soient $(U_{n},n\geq 1)$ une suite iid de variables aléatoires centrées, de carré intégrable et de variance $\sigma ^{2}$ .

On interpole la marche aléatoire $\sum _{k=1}^{n}U_{k}$ de manière affine par morceaux en considérant le processus $(X_{n}(t),t\geq 0)$ défini par

X_{n}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)

pour t ∈ [0,1] et où [x] désigne la partie entière de x.

Considérons l'espace ${\mathcal {C}}([0,1])$ des fonctions à valeurs réelles et continues sur [0,1]. On munit ${\mathcal {C}}([0,1])$ de la tribu borélienne ${\mathcal {B}}$ et de la norme infini $||.||_{\infty }$ . Ainsi, $X_{n}$ est une variable aléatoire à valeurs dans $({\mathcal {C}}([0,1]),{\mathcal {B}})$ .

Théorème (Donsker, 1951)

La suite $(X_{n},n\geq 1)$ converge en loi vers un mouvement brownien standard $B=(B_{t},t\geq 0)$ quand n tend vers l'infini.

Ici B est vu comme un élément aléatoire de $({\mathcal {C}}([0,1]),{\mathcal {B}})$ .

Idées de la démonstration

Notons $X_{n}(t)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+\psi _{n,t}$

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que $\psi _{n,t}$ converge en probabilité vers 0.

Ainsi par le théorème central limite, $X_{n}(t){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}{\sqrt {t}}N$ (converge en loi) où N est une variable aléatoire de loi normale ${\mathcal {N}}(0,1)$ .

De manière similaire, on obtient successivement

(X_{n}(s),X_{n}(t)-X_{n}(s)){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{s},B_{t-s})

(X_{n}(s),X_{n}(t)){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{s},B_{s}+B_{t-s})

(X_{n}(t_{1}),X_{n}(t_{2}),...,X_{n}(t_{k})){\underset {n\rightarrow \infty }{\stackrel {loi}{\longrightarrow }}}(B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{k}})

où B est un mouvement brownien standard.

Reste à montrer que la suite $(X_{n},n\geq 1)$ est tendue. Pour cela, on montre que

\lim _{\lambda \rightarrow \infty }{\underset {n\rightarrow \infty }{\lim \sup }}\,\lambda ^{2}\max _{k\leq n}\mathbb {P} \left(\sum _{i=1}^{k}U_{i}\geq \lambda \sigma {\sqrt {n}}\right)=0

On démontre d'abord cette convergence pour le cas où les variables $U_{i}$ sont normales. Pour généraliser à une loi quelconque, on utilise le théorème central limite et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour affiner les majorations[1].

Énoncé pour les processus empiriques

Soit $(X_{i},i\geq 1)$ une suite iid de variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1]. On note F la fonction de répartition commune des variables $X_{i}$ . ( $F(t)=\mathbb {P} [X_{i}\leq t]$ ) On définit la fonction de répartition empirique F_n de l'échantillon X₁,X₂,...,X_n par

F_{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1\!\!\!1_{X_{i}\leq t}\,,\,t\in [0,1]

ainsi que le processus empirique associé W_n par

W_{n}(t)={\sqrt {n}}(F_{n}(t)-F(t))={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}(1\!\!\!1_{X_{i}\leq t}-F(t))\,,\,t\in [0,1]

.

Considérons l'espace $D([0,1])$ des fonctions càdlàg (continues à droite et avec limites à gauche) sur [0,1] muni de la topologie de Skorokhod.

Théorème (Donsker, 1952) (conjecture de Doob, 1949) — La suite de processus $(W_{n},n\geq 1)$ converge en loi dans l'espace $D([0,1])$ vers un pont brownien $W=(W(t),t\in [0,1])$ quand n tend vers l'infini.

Voir également

Références

Voir (en) Patrick Billingsley (en), Convergence of Probability measures, Wiley-Interscience publication, août 1999, 2^e éd., 296 p. (ISBN 978-0-471-19745-4, présentation en ligne) pour plus de détails.

(en) M. D. Donsker, « Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems », Annals of Mathematical Statistics, vol. 23,‎ 1952, p. 277-281 (DOI 10.1214/aoms/1177729445)
(en) Richard M. Dudley (en), Uniform Central Limit Theorems, Cambridge, Cambridge University Press, 1999, 436 p. (ISBN 978-0-521-46102-3, lire en ligne)

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[1] Voir (en) Patrick Billingsley (en), Convergence of Probability measures, Wiley-Interscience publication, août 1999, 2^e éd., 296 p. (ISBN 978-0-471-19745-4, présentation en ligne) pour plus de détails.