Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire d'espérance ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ et de variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ avec ${\displaystyle \sigma }$ l'écart type de ${\displaystyle X}$ (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante :

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — Pour tout réel strictement positif ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left|X-\mathbb {E} [X]\right|\geq \alpha \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}\,.}$

Autrement dit, la probabilité que X s'éloigne de plus de ${\displaystyle \alpha }$ de son espérance est plus petite que ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\alpha ^{2}}}}$. La démonstration est une simple application de l'inégalité de Markov à la variable ${\displaystyle (X-\mathbb {E} [X])^{2}}$ et au réel ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ strictement positif compte tenu du fait que ${\displaystyle \{|X-\mathbb {E} [X]|\geq \alpha \}=\{(X-\mathbb {E} [X])^{2}\geq \alpha ^{2}\}}$.