Somme télescopique

Si ${\displaystyle (a_{n})}$ est une suite numérique, la série télescopique correspondante est la série de terme général ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$. La formule de télescopage s'écrit alors

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{k-1}\right)=a_{n}-a_{0}.}$

La convergence de la série télescopique ${\displaystyle \Sigma (a_{n+1}-a_{n})}$ équivaut donc à la convergence de la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ .

On peut voir cette formule comme une version discrète de la formule d'intégration : ${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)}$.

• L'exemple le plus connu est peut-être la formule des séries géométriques : on a

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}&=(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})\\&=(1-x)+(x-x^{2})+(x^{2}-x^{3})+\dotsb +(x^{n}-x^{n+1})\\&=1-x^{n+1}\end{aligned}}}$ ou, plus formellement, ${\displaystyle (1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}.}$

• Les formules ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{(k+1)!}}=1-{\frac {1}{(n+1)!}}}$ s'obtiennent par télescopage après avoir écrit ${\displaystyle k=k+1-1}$.
• La relation remarquable ${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=(1+2...+n)^{2}}$ peut s'obtenir par télescopage.

En effet, si ${\displaystyle a_{n}=(0+1+2+...+n)^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}$, alors

${\displaystyle a_{k}-a_{k-1}={\frac {k^{2}(k+1)^{2}-k^{2}(k-1)^{2}}{4}}=k^{2}{\frac {4k}{4}}=k^{3}.}$

On en déduit

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})=a_{n}-a_{0}=(1+2+...+n)^{2}.}$

• Plus généralement, les sommes des ${\displaystyle n}$ premières puissances p-ièmes des entiers ${\displaystyle S_{n}^{k}=\sum _{k=0}^{n}k^{p}}$ peuvent se calculer de proche en proche grâce à la formule de récurrence (Pascal 1655)  : ${\displaystyle S_{n}^{p}=(n+1)^{p+1}-\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}}$, formule se démontrant par télescopage et à l'aide de la formule du binôme.
  En effet, par télescopage : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=(n+1)^{p+1}}$.
  Et par la formule du binôme, ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}k^{q}=\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}\sum _{k=0}^{n}k^{q}=S_{n}^{p}+\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}}$ d'où la formule annoncée.
• La décomposition en éléments simples permet parfois une réécriture sous forme télescopique ; par exemple, puisque

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x+1}},}$ on a (si ${\displaystyle -\alpha \notin \mathbb {N} }$) : ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\alpha )(k+\alpha +1)}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+\alpha }}-{\frac {1}{k+\alpha +1}}\right)\\&=\left({\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left({\frac {1}{\alpha +1}}-{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots \\&={\frac {1}{\alpha }}+\left(-{\frac {1}{\alpha +1}}+{\frac {1}{\alpha +1}}\right)+\left(-{\frac {1}{\alpha +2}}+{\frac {1}{\alpha +2}}\right)+\cdots ={\frac {1}{\alpha }}.\end{aligned}}}$

• De nombreuses séries trigonométriques admettent une représentation comme différence permettant un télescopage :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\sin \left(k\right)&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(k\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\sum _{k=1}^{n}\left(\cos \left({\frac {2k-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2k+1}{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)}}\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

• Plus généralement, les expressions closes suivantes des sommes ${\displaystyle C_{n}=\sum _{k=0}^{n}\cos(k\theta +\varphi )}$ et ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}\sin(k\theta +\varphi )}$ pour ${\displaystyle \theta \neq 0\mod 2\pi }$ :${\displaystyle C_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\cos \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right),\ S_{n}={\frac {\sin \left((n+1){\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin {\frac {\theta }{2}}}}\sin \left(n{\frac {\theta }{2}}+\varphi \right)}$peuvent s'obtenir en multipliant par ${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}}$ , en linéarisant, puis en télescopant.
• Il convient cependant, dans le cas des séries, de ne pas négliger les questions de convergence ; on pourrait sinon en déduire, par exemple, que

${\displaystyle {\begin{aligned}1+1+1+\cdots &=(2-1)+(3-2)+(4-3)+\cdots \\&=-1+(2-2)+(3-3)+\cdots \\&=-1\end{aligned}}}$ (mais les résultats ainsi obtenus ne sont pas toujours dénués de sens ; on pourra à ce sujet consulter l'article série divergente).

La même technique s’applique à des produits infinis dont le terme général est de la forme ${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$. La formule de télescopage s'écrit alors

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}.}$

On peut ainsi démontrer la loi de Morrie : en remarquant que ${\displaystyle 2\cos a={\frac {\sin 2a}{\sin a}}}$, on a, en posant ${\displaystyle a_{n}=\sin(2^{n}\alpha )}$,

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}.}$

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