Loi de Morrie

En utilisant la formule de l'angle double pour la fonction sinus :

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )}$

on trouve l'expression de ${\displaystyle \cos(\alpha )}$, et par suite, de ${\displaystyle \cos(2\alpha )}$, ${\displaystyle \cos(4\alpha )}$... :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha )&={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\\\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}$

En multipliant toutes ces expressions les unes avec les autres, on obtient :

${\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\cancel {\sin(2\alpha )}}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\cancel {\sin(4\alpha )}}{2\ {\cancel {\sin(2\alpha )}}}}\cdot {\frac {\cancel {\sin(8\alpha )}}{2\ {\cancel {\sin(4\alpha )}}}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\ {\cancel {\sin(2^{n-1}\alpha )}}}}}$.

Dans la partie droite de l'expression, les numérateurs et dénominateurs intermédiaires s'annulent, ne laissant que le premier dénominateur ${\displaystyle sin(\alpha )}$ et le numérateur final ${\displaystyle sin(2^{n}\alpha )}$ (on dit qu'il s'agit d'un produit télescopique), ainsi qu'une puissance de 2 au dénominateur (${\displaystyle 2^{n}}$ car il y a ${\displaystyle n}$ termes) ; il vient alors :

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}}}$,

ce qui est équivalent à la généralisation de l'identité.

Preuve géométrique utilisant un ennéagone.

Pour démontrer la loi de Morrie, une preuve géométrique utilisant un ennéagone régulier a été publiée en 2008[6], puis une autre en 2015[7].

Cette dernière s'appuie sur l'ennéagone ${\displaystyle ABCDEFGHI}$ ci-contre, de côté 1. Soient ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle J}$, ${\displaystyle K}$ et ${\displaystyle L}$ les milieux de, respectivement, ${\displaystyle [AB]}$, ${\displaystyle [BD]}$, ${\displaystyle [DF]}$ et ${\displaystyle [BF]}$.

On montre que ${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$, ${\displaystyle \beta =40^{\circ }}$, et ${\displaystyle \gamma =80^{\circ }}$.

${\displaystyle \triangle KEF}$ est rectangle en ${\displaystyle K}$, donc ${\displaystyle \textstyle \cos(\alpha )={\frac {|KF|}{|EF|}}}$. Or ${\displaystyle |DF|=2\cdot |KF|}$ car ${\displaystyle K}$ est milieu de ${\displaystyle [DF]}$, donc :

${\displaystyle |DF|=2\cdot |EF|\cdot \cos(20^{\circ })}$

${\displaystyle \triangle DFL}$ est rectangle en ${\displaystyle L}$, donc ${\displaystyle \textstyle \cos(\beta )={\frac {|LF|}{|DF|}}}$. Or ${\displaystyle |BF|=2\cdot |LF|}$ car ${\displaystyle L}$ est milieu de ${\displaystyle [BF]}$, donc :

${\displaystyle |BF|=2\cdot |DF|\cdot \cos(40^{\circ })}$

${\displaystyle \triangle BFM}$ est rectangle en ${\displaystyle M}$, donc ${\displaystyle \textstyle \cos(\gamma )={\frac {|BM|}{|BF|}}}$. Or ${\displaystyle |AB|=2\cdot |BM|}$ car ${\displaystyle M}$ est milieu de ${\displaystyle [AB]}$, donc :

${\displaystyle |AB|=2\cdot |BF|\cdot \cos(80^{\circ })}$

Or ${\displaystyle |AB|=|EF|=1}$ car ce sont des côtés de l'ennéagone, et en remplaçant ${\displaystyle |BF|}$ et ${\displaystyle |DF|}$ par les expressions ci-dessus, on obtient :

${\displaystyle 1=8\cdot \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })}$.

Les auteurs de cette preuve ont par la suite publié, en 2016, une preuve géométrique d'un autre cas particulier de la généralisation de la loi de Morrie, celui où ${\displaystyle n=3}$ et ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{7}}}$[MAA 4].