Formule de Faulhaber

En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme

\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}\qquad \left({\mbox{pour }}n\in \mathbb {N} {\text{ et }}p\in \mathbb {N} \right)

par une fonction polynomiale de degré p + 1 en n[1], les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli : $B_{2}={\tfrac {1}{6}},\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{30}},\quad B_{6}={\tfrac {1}{42}}\ldots$

\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(n^{p+1}+{\frac {1}{2}}(p+1){n^{p}}+{\frac {1}{6}}{p+1 \choose 2}{n^{p-1}}-{\frac {1}{30}}{p+1 \choose 4}{n^{p-3}}+{\frac {1}{42}}{p+1 \choose 6}{n^{p-5}}+\ldots +(p+1)B_{p}n\right)

.

Les coefficients $\textstyle {p+1 \choose j}$ qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés $\mathrm {C} _{p+1}^{j}$ ).

Énoncé de la formule

Dans la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont $B_{0}=1,\quad B_{1}=-{\tfrac {1}{2}},\quad B_{2}={\tfrac {1}{6}},\quad B_{3}=0,\quad B_{4}=-{\tfrac {1}{30}}\quad \dots$

Dans l'article, nous suivrons une convention vue moins souvent, $B_{1}=+{\tfrac {1}{2}}$ , tous les autres nombres de Bernoulli restant comme ci-dessus.

La formule de Faulhaber s'écrit (avec $p\in \mathbb {N}$ et $n\in \mathbb {N}$ ) :

\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}

(avec

B_{1}={\tfrac {1}{2}}

plutôt que

-{\tfrac {1}{2}}

).

Faulhaber ne connaissait pas la formule sous cette forme, qui a été découverte par Jacques Bernoulli, et qui est un cas particulier de la formule d’Euler-MacLaurin. Il connaissait au moins l'expression dans les 17 premiers cas, et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynomiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Dans ses calculs, il doit manipuler la factorielle n! jusqu'à 24!, ce qui illustre son remarquable talent de calculateur, qu'il partage avec son correspondant Ludolph van Ceulen. Il est remarquable surtout par son anticipation des sommes multiples discrètes à une époque où l'analyse balbutie. Il utilise la k-symétrie, et donne aussi certaines généralisations remarquables[2].

Exemples

1^{0}+2^{0}+3^{0}+\cdots +n^{0}=n

1+2+3+\cdots +n={n^{2}+n \over 2}={n(n+1) \over 2}

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={2n^{3}+3n^{2}+n \over 6}={n(n+1)(2n+1) \over 6}

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}={n^{4}+2n^{3}+n^{2} \over 4}={n^{2}(n+1)^{2} \over 4}

1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \over 30}={n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1) \over 30}

1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2} \over 12}={n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1) \over 12}

1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n \over 42}={n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1) \over 42}

Une autre forme

On peut voir la formule énoncée avec des termes allant de 0 à n – 1 plutôt que de 1 à n. Dans ce cas, la seule chose qui change est que nous prenons B₁ = −1/2 plutôt que +1/2, donc le terme de deuxième plus haut degré dans chaque cas possède un signe moins plutôt qu'un signe plus.

\sum _{k=0}^{n-1}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}

(avec

B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}

).

La formule est valide pour tous entiers naturels p et n (y compris pour p = 0 , avec 0⁰ = 1) :

$0^{0}+1^{0}+2^{0}+3^{0}+\cdots +(n-1)^{0}=n$

$0+1+2+3+\cdots +(n-1)={n^{2}-n \over 2}$

$0+1+2^{2}+3^{2}+\cdots +(n-1)^{2}={2n^{3}-3n^{2}+n \over 6}$

$0+1+2^{3}+3^{3}+\cdots +(n-1)^{3}={n^{4}-2n^{3}+n^{2} \over 4}$

$0+1+2^{4}+3^{4}+\cdots +(n-1)^{4}={6n^{5}-15n^{4}+10n^{3}-n \over 30}$

$0+1+2^{5}+3^{5}+\cdots +(n-1)^{5}={2n^{6}-6n^{5}+5n^{4}-n^{2} \over 12}$

Relation avec les polynômes de Bernoulli

On peut écrire (pour p et n entiers naturels) :

S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}

,

où $B_{p}(X)$ est le polynôme de Bernoulli de rang p.

B_{0}(X)=1

B_{1}(X)=X-{\tfrac {1}{2}}

B_{2}(X)=X^{2}-X+{\tfrac {1}{6}}

B_{3}(X)=X^{3}-{\tfrac {3}{2}}X^{2}+{\tfrac {1}{2}}X

On a $B_{p}(0)=B_{p}$ , nombre de Bernoulli de rang p (avec $B_{1}(0)=-{\tfrac {1}{2}}$ ).

Ceci provient du fait que $B_{p+1}(X+1)-B_{p+1}(X)=(p+1)X^{p}$ (1).

En effet par télescopage $A=\sum _{k=0}^{n}(B_{p+1}(k+1)-B_{p+1}(k))=B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)$ ,

et par (1) $A=(p+1)\sum _{k=0}^{n}k^{p}=(p+1)S_{n}^{p}$ , d'où la formule.

Forme symbolique

Dans le calcul ombral classique, on traite formellement les indices j dans une suite B_j comme s'ils étaient des exposants, c’est-à-dire que, dans ce cas, on applique la formule du binôme de Newton, ce qui donne

\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B^{j}n^{p+1-j}={(B+n)^{p+1}-B^{p+1} \over p+1}

.

Dans le calcul ombral « moderne », on considère la forme linéaire T sur l'espace vectoriel des polynômes de variable b donnée par

T(b^{j})=B_{j}

.

On peut alors écrire

\sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}

={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).

Polynômes de Faulhaber

La locution « polynômes de Faulhaber » est utilisée par certains auteurs pour faire référence à une autre entité que la suite de polynômes donnée ci-dessus.

Faulhaber a observé (sans en donner de preuve) que si p est impair, alors

1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}

est une fonction polynomiale de

y=1+2+3+\cdots +n={n^{2}+n \over 2}

.

En particulier

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=y^{2}

1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={4y^{3}-y^{2} \over 3}

1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={6y^{4}-4y^{3}+y^{2} \over 3}

(et donc

1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}+1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}=2y^{4}

)

1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={16y^{5}-20y^{4}+12y^{3}-3y^{2} \over 5}

1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={16y^{6}-32y^{5}+34y^{4}-20y^{3}+5y^{2} \over 3}

Quelques auteurs appellent ces polynômes $P(y)$ , avec $y={\frac {n(n+1)}{2}}$ , « polynômes de Faulhaber » ; Donald Knuth a donné des démonstrations de ces résultats (et d'autres les généralisant encore) en n'utilisant que des méthodes que Faulhaber maîtrisait[2].

Expression utilisant les nombres de Stirling de seconde espèce.

Pour tout $p\geqslant 1$ , on a la relation :

\sum _{k=0}^{n}k^{p}=\sum _{i=1}^{p}{\frac {S(p,i)}{i+1}}(n+1)_{i+1}

où les $S(p,i)$ sont les nombres de Stirling de seconde espèce (nombre de partitions en i parties d'un ensemble à p éléments) et $(n+1)_{i+1}=(n+1)(n)...(n+1-i)$ (symbole de Pochhammer).

Par exemple $\sum _{k=0}^{n}k={\frac {1}{2}}(n+1)n$ , et $\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {1}{2}}(n+1)n+{\frac {1}{3}}(n+1)n(n-1)$ .

Démonstration

On utilise la caractérisation algébrique $\sum _{i=1}^{p}S(p,i)(X)_{i}=X^{p}$ .

Alors $\sum _{k=0}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i=1}^{p}S(p,i)(k)_{i}=\sum _{i=1}^{p}S(p,i)\sum _{k=0}^{n}(k)_{i}$ .

Or $(k)_{i}={\frac {1}{i+1}}((k+1)_{i+1}-(k)_{i+1})$ , donc par télescopage, $\sum _{k=0}^{n}(k)_{i}={\frac {1}{i+1}}((n+1)_{i+1}-0)$ . On obtient ainsi la formule annoncée.

Relations de récurrence liant ces sommes

Relation de récurrence forte (Pascal 1655)

Les sommes $S_{n}^{p}=\sum _{k=0}^{n}k^{p}$ peuvent se calculer de proche en proche grâce à la relation :

(p+1)S_{n}^{p}=(n+1)^{p+1}-\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}

.

En effet, par télescopage : $\sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=(n+1)^{p+1}$ , et par la formule du binôme, $\sum _{k=0}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}k^{q}=\sum _{q=0}^{p}{\binom {p+1}{q}}\sum _{k=0}^{n}k^{q}=(p+1)S_{n}^{p}+\sum _{q=0}^{p-1}{\binom {p+1}{q}}S_{n}^{q}$ , d'où la formule annoncée.

Notons qu'ici $S_{n}^{0}=0^{0}+1^{0}+2^{0}+3^{0}+\cdots +n^{0}=n+1$ ;

alors, $2S_{n}^{1}=(n+1)^{2}-(n+1)=n(n+1)$ ,

puis $3S_{n}^{2}=(n+1)^{3}-(n+1)-3n(n+1)/2={\frac {n+1}{2}}(2n^{2}+4n+2-2-3n)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{2}}$ , etc...

Relation de récurrence forte sur les $S_{n}^{2p+1}$

Elle s'écrit

2(p+1)S_{n}^{2p+1}=(n(n+1))^{p+1}-2\sum _{1\leqslant q\leqslant p/2}{\binom {p+1}{2q+1}}S_{n}^{2p+1-2q}

.

La démonstration est similaire à la précédente :

Démonstration

Par télescopage : $A_{n}=\sum _{k=1}^{n}((k(k+1))^{p+1}-(k(k-1))^{p+1})=(n(n+1))^{p+1}$ ,

et par la formule du binôme, $A_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{p+1}\sum _{q=0}^{p+1}{\binom {p+1}{q}}(1-(-1)^{q}))k^{p+1-q}=\sum _{k=1}^{n}k^{p+1}\sum _{0\leqslant 2q+1\leqslant p+1}^{p+1}{\binom {p+1}{2q+1}}2k^{p+1-2q-1}$ ,

donc $A_{n}=\sum _{0\leqslant 2q+1\leqslant p+1}\sum _{k=1}^{n}{\binom {p+1}{2q+1}}2k^{2p+1-2q}=\sum _{0\leqslant q\leqslant p/2}{\binom {p+1}{2q+1}}2S_{n}^{2p+1-2q}=2(p+1)S_{n}^{2p+1}+2\sum _{1\leqslant q\leqslant p/2}{\binom {p+1}{2q+1}}S_{n}^{2p+1-2q}$ , d'où la formule annoncée.

En faisant $p=1$ on obtient par exemple directement que $4S_{n}^{3}=(n(n+1))^{2}$ .

Et cette relation permet de montrer que $S_{n}^{2p+1}$ est un polynôme de degré $p+1$ en $n(n+1)$ .

Expression matricielle des formules de Faulhaber[3]

Pour les sommes quelconques

De manière similaire au calcul de la relation de Pascal ci-dessus, en calculant de deux façons la somme $\sum _{k=1}^{n}(k^{i}-(k-1)^{i})$ , on obtient la relation :

\sum _{j=1}^{i}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j-1}}S_{n}^{j-1}=n^{i}

.

Ces relations pour i de 1 à p constituent un système triangulaire dont sont solutions $S_{n}^{0},S_{n}^{1},\cdots ,S_{n}^{p-1}$ .

Si $A_{p}$ est la matrice carrée triangulaire inférieure d'ordre p définie par $A_{p}(i,j)=(-1)^{i+j}{\binom {i}{j-1}}$ , le système s'écrit

$A_{p}{\begin{pmatrix}S_{n}^{0}\\S_{n}^{1}\\\cdots \\S_{n}^{p-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\\cdots \\n^{p}\end{pmatrix}}$ ; on en déduit ${\begin{pmatrix}S_{n}^{0}\\S_{n}^{1}\\\cdots \\S_{n}^{p-1}\end{pmatrix}}=A_{p}^{-1}{\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\\cdots \\n^{p}\end{pmatrix}}$ .

Par exemple, $A_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&0&0&0&0&0\\1&-3&3&0&0&0&0\\-1&4&-6&4&0&0&0\\1&-5&10&-10&5&0&0\\-1&6&-15&20&-15&6&0\\1&-7&21&-35&35&-21&7\\\end{pmatrix}}$ , et $A_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\{-{1 \over 30}}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&{-{1 \over 12}}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&{-{1 \over 6}}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}}$ .

On retrouve bien $S_{n}^{0}=n$ (attention, ici la somme démarre à k = 1), $S_{n}^{1}=(n+n^{2})/2$ , etc.

La matrice $A_{p}$ est la matrice obtenue en tronquant la diagonale principale et alternant les signes de la matrice de Pascal triangulaire inférieure.

Pour les sommes à exposants impairs

La relation ci-dessus sur les sommes à exposants impairs peut aussi s'écrire :

\sum _{{(i+1)}/2\leqslant j\leqslant i}2{\binom {i}{2j-i-1}}S_{n}^{2j-1}=(n(n+1))^{i}

.

Ces relations pour i de 1 à p constituent un système triangulaire dont sont solutions $S_{n}^{1},S_{n}^{3},\cdots ,S_{n}^{2p-1}$ .

Si $B_{p}$ est la matrice carrée triangulaire inférieure d'ordre p définie par $B_{p}(i,j)=2{\binom {i}{2j-i-1}}$ , le système s'écrit

$B_{p}{\begin{pmatrix}S_{n}^{1}\\S_{n}^{3}\\\cdots \\S_{n}^{2p-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n(n+1)\\n^{2}(n+1)^{2}\\\cdots \\n^{p}(n+1)^{p}\end{pmatrix}}$ ; on en déduit ${\begin{pmatrix}S_{n}^{1}\\S_{n}^{3}\\\cdots \\S_{n}^{2p-1}\end{pmatrix}}=B_{p}^{-1}{\begin{pmatrix}n(n+1)\\n^{2}(n+1)^{2}\\\cdots \\n^{p}(n+1)^{p}\end{pmatrix}}$ .

Par exemple, $B_{4}=2{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&4&4\\\end{pmatrix}}$ , et $B_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}{1 \over 2}&0&0&0\\0&{1 \over 4}&0&0\\0&{-1 \over {12}}&{1 \over 6}&0\\0&{1 \over {12}}&{-1 \over 6}&{1 \over 8}\end{pmatrix}}$ .

On retrouve bien $S_{n}^{1}=n(n+1)/2$ , $S_{n}^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$ , $S_{n}^{5}={{n^{3}(n+1)^{3}} \over 6}-{\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{12}}$ etc.

La matrice $B_{p}$ est le double de la matrice obtenue en tronquant une diagonale descendante sur deux de la matrice de Pascal triangulaire inférieure.

Bibliographie

(en) John Horton Conway et Richard Guy, The Book of Numbers, Springer Verlag, 1998 (ISBN 0-387-97993-X), p. 107
(en) Eric Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC, 2003 (ISBN 1-58488-347-2), p. 2331
(de) Johann Faulhaber, Academia Algebrae. Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden, Augsburg, Johann Ulrich Schönig, 1631

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Faulhaber's formula » (voir la liste des auteurs).

Nulle en n = 0 (cf. « Somme vide ») donc produit de n par une fonction polynomiale de degré p.
(en) Donald E. Knuth, « Johann Faulhaber and sums of powers », Math. Comp., vol. 61,‎ 1993, p. 277-294 (lire en ligne).
(en) Giorgio Pietrocola, « On polynomials for the calculation of sums of powers of successive integers and Bernoulli numbers deduced from the Pascal's triangle », ?,‎ 2017 (lire en ligne)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Faulhaber's Formula », sur MathWorld

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] Nulle en n = 0 (cf. « Somme vide ») donc produit de n par une fonction polynomiale de degré p.

[Knuth2-2] (en) Donald E. Knuth, « Johann Faulhaber and sums of powers », Math. Comp., vol. 61,‎ 1993, p. 277-294 (lire en ligne).

[3] (en) Giorgio Pietrocola, « On polynomials for the calculation of sums of powers of successive integers and Bernoulli numbers deduced from the Pascal's triangle », ?,‎ 2017 (lire en ligne)