Série de Lambert

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}

.

Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :

S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de $(a n)$ avec la fonction constante $1 (n) = 1$ :

b_{m}=(a*{\mathbf {1} })(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}

.

Exemples

La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :

la série de Lambert de la fonction de Möbius $μ$ est la série génératrice ordinaire de $μ$ ✻ $1$ = δ₁ : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q$ ;
celle de $1$ est la série ordinaire de la fonction $1 ✻ 1 = σ 0 = d$ (nombre de diviseurs) : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)$ ;
plus généralement, celle de la fonction puissance $Id$ _a(n) = n^a (où $a$ est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction $Id$ _a ✻ $1$ = $σ a$ (somme des puissances $a$ -ièmes des diviseurs) : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)$ ;
de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }m^{k}q^{m}$ . En particulier,
la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler $φ = J 1$ est : $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{m=1}^{\infty }mq^{m}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}$

Les séries de Lambert dans lesquelles les $a n$ sont des fonctions trigonométriques, par exemple, $a n = sin(2 nx)$ , peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.

(la) Leonhard Euler, « Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae », Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, vol. 3,‎ 1753, p. 86-108 (lire en ligne)

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