Période radioactive

Nombre de périodes passées	Fraction restante	Pourcentage restant
0	1	100 %
1	1/2	50 %
2	1/4	25 %
3	1/8	12,5 %
4	1/16	6,25 %
5	1/32	3,125 %
6	1/64	1,562 5 %
7	1/128	0,781 25 %
...	...
10	1/1 024	0,097 656 %[alpha 6]
...	...
20	1/1 048 576	~ 0,000 10 %[alpha 7]
...	...
78,995	${\displaystyle {1 \over {N}_{\rm {A}}}={1 \over 6,022\times 10^{23}}}$	1,660 5×10-22 %[alpha 8]
...	...
${\displaystyle N}$	${\displaystyle {1 \over 2^{N}}}$	${\displaystyle {100 \over 2^{N}}}$ %
...	...

Demi-vie (médiane) et durée de vie moyenne (espérance) d'une population ayant une décroissance exponentielle.

La décroissance radioactive est un processus de Poisson. La probabilité de désintégration est indépendante du passé et du futur. Pour la dérivation de la loi de probabilité il faut introduire une échelle de temps proportionnelle à la demi-vie. Pour cela on introduit la probabilité cumulative :

${\displaystyle U(t)=\mathrm {Prob} (T>t)}$,

c'est-à-dire la probabilité que la désintégration se produise après un temps t.

Puisque la désintégration est indépendante de l'instant t, U(t) est la probabilité conditionnelle qu'il y ait une désintégration à l'instant t + s sachant qu'il n'y a pas de désintégration à l'instant t U(t + s)/(U(s))^[Quoi ?]. Ainsi la probabilité cumulative satisfait cette équation :

${\displaystyle U(t+s)=U(t)\cdot U(s)}$

Dans le cas d'une fonction mesurable l'unique solution est la fonction exponentielle. Soit un ensemble constitué de N éléments dont le nombre décroît avec le temps selon un taux de décroissance noté ${\displaystyle \lambda }$. L'équation de ce système dynamique (cf. loi de décroissance exponentielle) s'écrit :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}=-\lambda \,N}$

où λ est un nombre positif, avec une quantité initiale ${\displaystyle N(t=0)=N_{0}}$.

Si on effectue une résolution des équations différentielles à coefficients constants, alors la solution d'une telle équation est la fonction définie par :

${\displaystyle N(t)=N_{0}\,\mathrm {e} ^{-\lambda t}\,}$

Cette fonction décroissante atteint une valeur égale à la moitié de la quantité initiale ${\displaystyle N_{0}}$ au bout d'une certaine durée notée ${\displaystyle t_{1/2}}$. En simplifiant, on obtient alors :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda \,t_{1/2}}={\frac {N_{0}}{2N_{0}}}={\frac {1}{2}}}$

d'où l'on déduit facilement

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}}$

Cette durée ${\displaystyle t_{1/2}}$ est appelée la demi-vie des éléments de l'ensemble.

Autre formulation simple de l'évolution du nombre de noyaux (N) en fonction du temps :

${\displaystyle N=N_{0}\,\left({1 \over 2}\right)^{t \over t_{1/2}}}$

• Il arrive qu'un isotope radioactif comporte plusieurs modes de désintégration, chacun des modes étant caractérisé par une constante radioactive propre λ_i. La loi de décroissance exponentielle reste valable, et les constantes de désintégration s'ajoutent (λ = λ₁ + λ₂ + …). La période radioactive reste égale à T = (Log 2)/λ.
• Il arrive aussi qu'un isotope radioactif soit produit en même temps qu'il se désintègre. Le carbone 14 par exemple, radioactif, est produit dans la haute atmosphère par les rayons cosmiques et diffuse vers le sol. C'est aussi le cas des isotopes appartenant à une chaîne de désintégration radioactive (l'isotope radioactif considéré est lui-même le produit de la désintégration de l'isotope en amont dans la chaîne). Dans ces cas, la loi exponentielle simple de décroissance radioactive ne s'applique plus (dans l'expression de dN/dt il y a alors un terme de création en plus du terme de décroissance radioactive).

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• Radioactivité

• Site de l’IRSN (Institut de radioprotection et de sûreté nucléaire) - Glossaire (lien en fin de page)
• Radioactivité : Périodes et activités sur le site de CNRS-IN2P3/EDP-Sciences

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