Nombre palindrome

Tous les nombres en base 10 d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 10⁴. Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 10⁵ et pour les autres exposants de 10ⁿ, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999, ... (suite A070199 de l'OEIS). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, 0 est inclus.

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes « nombres de Schéhérazade » dans son livre Synergetics, parce que Schéhérazade était le nom de la femme qui contait, dans Les Mille et Une Nuits.

Bien que les nombres palindromes soient le plus souvent représentés dans le système décimal, le concept de palindromicité peut être appliqué aux entiers naturels dans n'importe quel système de numération. Considérons un nombre n > 0 en base b ≥ 2, où il est écrit en notation standard avec k+1 chiffres tel que :

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

avec 0 ≤ a_i < b pour tout i et a_k ≠ 0. Alors n est un nombre palindrome si et seulement si a_i = a_k−i pour tout i.

Les nombres palindromes peuvent être considérés dans d'autres systèmes de numération que décimale. Par exemple, les nombres palindromes binaires sont :

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

ou en décimal : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … suite A006995 de l'OEIS. Les nombres premiers de Fermat et de Mersenne forment un sous-ensemble des premiers palindromes binaires. Tous les nombres sont palindromes dans un nombre infini de bases. Mais, il est plus intéressant de considérer des bases plus petites que le nombre lui-même - auquel cas la plupart des nombres sont palindromes dans plus d'une base, par exemple, ${\displaystyle 1221_{4}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}}$, ${\displaystyle 1991_{10}=7C7_{16}}$. En base 18, certaines puissances de sept sont palindromes :

Et dans la base 24, les huit premières puissances de cinq sont palindromes :

Tout nombre n est palindrome dans toutes les bases b avec b ≥ n + 1 (car n est alors un nombre à un seul chiffre), mais aussi dans la base n - 1 (car n est alors 11_{n - 1}). Un nombre non palindrome dans toutes les bases 2 ≤ b < n - 1 est appelé un nombre strictement non palindrome.

• La série des inverses des nombres palindromes est convergente[1] vers un nombre légèrement supérieur à 3,37 et qui est étudié dans la séquence  A118031.
• Pour toute base de numération supérieure ou égale à 5, tout entier est somme d'au plus 3 nombres palindromes, cette borne est optimale car il existe pour toute base supérieure ou égale à 2 une infinité d'entiers qui ne sont pas somme de deux nombres palindromes (en base 10, c'est par exemple le cas de 21)[1].