Loi de Slash

En théorie des probabilités, la loi de Slash est la loi de probabilité d'une variable aléatoire de loi normale divisée par une variable aléatoire de loi uniforme continue[1]^,[2]. En d'autres termes, si $Z$ est une variable normale centrée réduite (moyenne est nulle et la variance vaut 1), si $U$ est uniforme sur $[0,1]$ et si $Z$ et $U$ sont indépendantes alors la variable $\scriptstyle X={\frac {Z}{U}}$ suit une loi de Slash. Cette loi a été nommée ainsi par William H. Rogers (en) et John Tukey dans un article publié en 1972[3].

Loi de Slash
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	aucun
Support	${\displaystyle x\in \,]-\infty$
Densité de probabilité	${\frac {\varphi (0)-\varphi (x)}{x^{2}}}$
Fonction de répartition	${\begin{cases}\Phi (x)-{\frac {\varphi (0)-\varphi (x)}{x}}&{\text{si}}\,x\neq 0\\1/2&{\text{si}}\,x=0\\\end{cases}}$
Espérance	n'existe pas
Médiane	0
Mode	0
Variance	n'existe pas
Asymétrie	n'existe pas
Kurtosis normalisé	n'existe pas
Fonction génératrice des moments	n'existe pas
Fonction caractéristique	${\sqrt {2\pi }}{\Big (}\varphi (t)+t\Phi (t)-\max\{t,0\}{\Big )}$

Fonction de densité

Sa fonction de densité est donnée par

f(x)={\frac {\varphi (0)-\varphi (x)}{x^{2}}}

où $\varphi$ est la fonction de densité d'une loi normale centrée réduite. Elle n'est pas définie pour $x=0$ , mais cette discontinuité est remplacée par :

\lim _{x\rightarrow 0}f(x)={\frac {\phi (0)}{2}}={\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}

L'utilisation la plus commune de la loi de Slash est dans l'étude de simulations. Cette loi possède une queue plus lourde que la loi normale mais n'est cependant pas pathologique comme la loi de Cauchy[4].

Références

(en) Anthony Christopher Davison et D. V. Hinkley, Bootstrap methods and their application, Cambridge University Press, 1997, 484 p. (ISBN 978-0-521-57471-6, lire en ligne)
Nicolas Ferrari, « Prévoir l’investissement des entreprises, Un indicateur des révisions dans l’enquête Investissement », Économie et Statistique, n^os 395-396,‎ 2006, p. 39-64 (www.insee.fr/fr/ffc/docs_ffc/es395-396c.pdf)
DOI:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00191.x
Statistical Engineering Division, National Institute of Science and Technology, « Statistical engineering division - dataaplot - slapdf » (consulté le 2 juillet 2009)

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[1] (en) Anthony Christopher Davison et D. V. Hinkley, Bootstrap methods and their application, Cambridge University Press, 1997, 484 p. (ISBN 978-0-521-57471-6, lire en ligne)

[2] Nicolas Ferrari, « Prévoir l’investissement des entreprises, Un indicateur des révisions dans l’enquête Investissement », Économie et Statistique, n^os 395-396,‎ 2006, p. 39-64 (www.insee.fr/fr/ffc/docs_ffc/es395-396c.pdf)

[3] DOI:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00191.x

[4] Statistical Engineering Division, National Institute of Science and Technology, « Statistical engineering division - dataaplot - slapdf » (consulté le 2 juillet 2009)