Loi de Cauchy (probabilités)

La loi de Cauchy n'admet ni espérance ni écart type. Et il en va de même pour tout moment d'ordre supérieur. En effet,

${\displaystyle x\mapsto {\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{(x-x_{0})^{2}+a^{2}}}\,}$ n'est pas intégrable au sens de Lebesgue

car ${\displaystyle \left|{\frac {x}{(x-x_{0})^{2}+a^{2}}}\right|\sim \left|{\frac {1}{x}}\right|}$ (à l'infini) d'où la divergence de l'intégrale : l'espérance n'existe pas.

A fortiori, la loi de Cauchy n'admet pas d'écart-type, car ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {a}{\pi }}{\frac {x^{2}}{(x-x_{0})^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x}$ diverge. Pour la même raison, les moments d'ordre supérieur n'existent pas non plus.

Cependant, ${\displaystyle x_{0}}$, qui en est la médiane, est souvent considéré comme la « moyenne » de la loi de Cauchy, car :

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow +\infty }\int _{-R}^{R}{\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{(x-x_{0})^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x=x_{0}}$

Moyenne empirique d'une série de valeurs suivant la loi de Cauchy.

La loi de Cauchy est l'une de celles auxquelles la loi des grands nombres ne s'applique pas : partant d'un échantillon d'observations ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ issues d'une loi de Cauchy, la moyenne empirique

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

ne converge pas vers une quantité déterministe (à savoir l'espérance de la loi). Au contraire, cette moyenne reste aléatoire : elle est elle-même distribuée selon une loi de Cauchy.

Elle nous montre ainsi que la condition de l'espérance définie selon l'intégrale de Lebesgue est indispensable à l'application de la loi. On remarque que les valeurs moyennes s'approchent de ${\displaystyle x_{0}}$ mais il arrive toujours un moment où une valeur trop éloignée « empêche » la moyenne de converger. La probabilité d'obtenir des valeurs éloignées de ${\displaystyle x_{0}}$ est en fait trop élevée pour permettre à la moyenne empirique de converger.