Fonction lorentzienne

Une fonction lorentzienne, ou courbe lorentzienne — du nom de Hendrik Lorentz — est une fonction de la forme suivante :

${\displaystyle L(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Pour l’article homonyme, voir Courbe de Lorenz.

Fonction lorentzienne pour x₀ = 0, Γ = 1

C'est l'expression la plus simple d'une lorentzienne, centrée en x=0.

Une forme paramétrée par l'abscisse x₀ du sommet et la largeur Γ à mi-hauteur (couramment appelée largeur de la lorentzienne) est la fonction L définie par :

${\displaystyle L(x)={\frac {\Gamma }{2\pi }}{\frac {1}{{\frac {\Gamma ^{2}}{4}}+(x-x_{0})^{2}}}={\frac {\dfrac {2}{\pi \Gamma }}{1+\left({\dfrac {x-x_{0}}{\Gamma /2}}\right)^{2}}}}$

En son sommet, elle atteint :

${\displaystyle L(x_{0})={\frac {2}{\pi \Gamma }}}$

C'est une courbe en cloche.

En théorie des probabilités, elle est la densité de probabilité de la loi appelée loi de Cauchy (à un préfacteur de normalisation près).