Loi stable

On dit qu'une variable aléatoire réelle ${\displaystyle X}$ est de loi stable si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes[1] :

1. Pour tous réels strictement positifs ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, il existe un réel strictement positif ${\displaystyle C}$ et un réel ${\displaystyle D}$ tels que les variables aléatoires ${\displaystyle AX_{1}+BX_{2}}$ et ${\displaystyle CX+D}$ aient la même distribution, où ${\displaystyle X_{1}}$ et ${\displaystyle X_{2}}$ sont des copies indépendantes de ${\displaystyle X}$.
2. Pour tout entier ${\displaystyle n\geq 2}$, il existe une constante strictement positive ${\displaystyle C_{n}}$ et un réel ${\displaystyle D_{n}}$ tels que les variables aléatoires ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}$ et ${\displaystyle C_{n}X+D_{n}}$ aient la même distribution, où ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ sont des copies indépendantes de ${\displaystyle X}$.
3. Il existe des réels ${\displaystyle \alpha \in ]0,2]}$, ${\displaystyle \sigma \geq 0}$, ${\displaystyle \beta \in [-1;1]}$ et ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ telles que la fonction caractéristique de ${\displaystyle X}$ vérifie, pour tout ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta X}\right]=\left\{{\begin{array}{lc}\exp \left\{-\sigma ^{\alpha }|\theta |^{\alpha }(1-\mathrm {i} \beta (\operatorname {sgn} \theta )\tan {\frac {\pi \alpha }{2}})+\mathrm {i} \mu \theta \right\}&{\text{ si }}\alpha \neq 1,\\\\\exp \left\{-\sigma |\theta |(1+\mathrm {i} \beta {\frac {2}{\pi }}(\operatorname {sgn} \theta )\ln |\theta |)+\mathrm {i} \mu \theta \right\}&{\text{ si }}\alpha =1,\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle \operatorname {sgn} {\theta }=\left\{{\begin{array}{lc}1&{\text{ si }}\theta >0,\\0&{\text{ si }}\theta =0,\\-1&{\text{ si }}\theta <0.\end{array}}\right.}$

Remarques :

• Les paramètres ${\displaystyle \alpha \in ]0,2]}$, ${\displaystyle \sigma \geq 0}$, ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ et ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ caractérisent la loi de ${\displaystyle X}$. On écrit alors ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\sigma ,\beta ,\mu )}$.
• Le réel ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle ]0;2]}$ est appelé paramètre de stabilité de ${\displaystyle X}$. Le réel positif ${\displaystyle \sigma }$ est appelé paramètre d'échelle de ${\displaystyle X}$.
• Les coefficients ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ sont liés par la relation ${\displaystyle C^{\alpha }=A^{\alpha }+B^{\alpha }}$.
• Pour tout ${\displaystyle n\geq 2}$, on a ${\displaystyle C_{n}=n^{1/\alpha }}$.

On dit qu'une variable aléatoire réelle ${\displaystyle X}$ est ${\displaystyle \alpha }$-stable si elle est stable et que son paramètre de stabilité est ${\displaystyle \alpha }$.

• Si ${\displaystyle X_{1}\sim S_{\alpha }(\sigma _{1},\beta _{1},\mu _{1})}$ et ${\displaystyle X_{2}\sim S_{\alpha }(\sigma _{2},\beta _{2},\mu _{2})}$ sont indépendantes, alors ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim S_{\alpha }(\sigma ,\beta ,\mu )}$ avec

${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1}^{\alpha }+\sigma _{2}^{\alpha })^{1/\alpha },\,\beta ={\frac {\beta _{1}\sigma _{1}^{\alpha }+\beta _{2}\sigma _{2}^{\alpha }}{\sigma _{1}^{\alpha }+\sigma _{2}^{\alpha }}},\,{\text{ et }}\mu =\mu _{1}+\mu _{2}.}$

• Si ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\sigma ,\beta ,\mu )}$ et ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, alors ${\displaystyle X+a\sim S_{\alpha }(\sigma ,\beta ,\mu +a)}$.
• Si ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\sigma ,\beta ,\mu )}$ avec ${\displaystyle \alpha \in ]0,2[}$, alors

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\lambda ^{\alpha }\mathbb {P} (X>\lambda )=C_{\alpha }{\frac {1+\beta }{2}}\sigma ^{\alpha },\\\displaystyle \lim _{\lambda \to -\infty }\lambda ^{\alpha }\mathbb {P} (X<\lambda )=C_{\alpha }{\frac {1-\beta }{2}}\sigma ^{\alpha },\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle C_{\alpha }=\left(\int _{0}^{+\infty }x^{-\alpha }\sin x\,\mathrm {d} x\right)^{-1}={\frac {2\Gamma (\alpha )\sin(\pi \alpha /2)}{\pi }}}$.

• Si ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\sigma ,\beta ,\mu )}$ avec ${\displaystyle \alpha \in (0,2)}$, alors

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\mathbb {E} [|X|^{p}]<+\infty &{\text{ si }}p\in ]0,\alpha [,\\\mathbb {E} [|X|^{p}]=+\infty &{\text{ si }}p\geq \alpha .\end{array}}\right.}$

On dit que ${\displaystyle X}$ est de loi symétrique ${\displaystyle \alpha }$-stable si ${\displaystyle X}$ est ${\displaystyle \alpha }$-stable et que les variables aléatoires ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle -X}$ sont identiquement distribuées.

• ${\displaystyle X}$ est de loi symétrique ${\displaystyle \alpha }$-stable si, et seulement si, ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\sigma ,0,0)}$. On note simplement dans ce cas ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }S(\sigma )}$.
• ${\displaystyle X}$ est de loi symétrique ${\displaystyle \alpha }$-stable si, et seulement si, sa fonction caractéristique vérifie pour tout ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$ l'égalité ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta X}\right]=\mathrm {e} ^{-\sigma ^{\alpha }|\theta |^{\alpha }}}$, où ${\displaystyle \sigma }$ est le paramètre d'échelle de ${\displaystyle X}$.

On dit qu'un vecteur aléatoire ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ est de loi stable s'il vérifie une des 2 propriétés équivalentes suivantes[1] :

1. Pour tous réels strictement positifs ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$, il existe un réel strictement positif ${\displaystyle C}$ et un vecteur ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ tels que les vecteurs aléatoires ${\displaystyle AX^{(1)}+BX^{(2)}}$ et ${\displaystyle CX+D}$ aient la même distribution, où ${\displaystyle X^{(1)}}$ et ${\displaystyle X^{(2)}}$ sont des copies indépendantes de ${\displaystyle X}$.
2. Il existe une mesure finie ${\displaystyle \Gamma }$ sur la sphère ${\displaystyle S_{d}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ et un vecteur ${\displaystyle \mu ^{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$ tels que la fonction caractéristique de ${\displaystyle X}$ vérifie, pour tout ${\displaystyle (\theta _{1},\dots ,\theta _{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\exp \left(\mathrm {i} \sum _{l=1}^{d}\theta _{l}X_{l}\right)\right]=\left\{{\begin{array}{lc}\exp \left\{-\int _{S_{d}}|\!\langle \theta ,s\rangle \!|^{\alpha }\left(1-\mathrm {i} \operatorname {sgn}(\!\langle \theta ,s\rangle \!)\tan {\frac {\pi \alpha }{2}})\right)\Gamma (\mathrm {d} s)+\mathrm {i} (\theta ,\mu ^{0})\right\}&{\text{ si }}\alpha \neq 1,\\\\\exp \left\{-\int _{S_{d}}|\!\langle \theta ,s\rangle \!|\left(1+\mathrm {i} {\frac {2}{\pi }}\operatorname {sgn}(\!\langle \theta ,s\rangle \!)\ln |\!\langle \theta ,s\rangle \!|\right)\Gamma (\mathrm {d} s)+\mathrm {i} (\theta ,\mu ^{0})\right\}&{\text{ si }}\alpha =1,\end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ est le produit scalaire classique sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Remarques :

• La paire ${\displaystyle (\Gamma ,\mu ^{0})}$ est unique.
• Le réel ${\displaystyle \alpha }$ est appelé paramètre de stabilité de ${\displaystyle X}$.
• Les coefficients ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ sont liés par la relation ${\displaystyle C^{\alpha }=A^{\alpha }+B^{\alpha }}$.
• On dit que ${\displaystyle X}$ est de loi symétrique ${\displaystyle \alpha }$-stable si ${\displaystyle X}$ est ${\displaystyle \alpha }$-stable et que les variables aléatoires ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle -X}$ sont identiquement distribuées. Dans ce cas, sa fonction caractéristique est donnée, pour tout ${\displaystyle (\theta _{1},\dots ,\theta _{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$, par ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\exp \left(\mathrm {i} \sum _{l=1}^{d}\theta _{l}X_{l}\right)\right]=\exp \left\{-\int _{S_{d}}|\!\langle \theta ,s\rangle \!|^{\alpha }\Gamma (\mathrm {d} s)\right\}}$.

• Si ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ est un vecteur ${\displaystyle \alpha }$-stable, alors, pour tous réels ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{d}}$, la variable aléatoire réelle ${\displaystyle \sum _{l=1}^{d}b_{l}X_{l}}$ est ${\displaystyle \alpha }$-stable.
• Si ${\displaystyle \alpha \in [1,2]}$ et, pour tous réels ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{d}}$, la variable aléatoire réelle ${\displaystyle \sum _{l=1}^{d}b_{l}X_{l}}$ est ${\displaystyle \alpha }$-stable, alors le vecteur ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ est ${\displaystyle \alpha }$-stable.
• Si, pour tous réels ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{d}}$, la variable aléatoire réelle ${\displaystyle \sum _{l=1}^{d}b_{l}X_{l}}$ est symétrique ${\displaystyle \alpha }$-stable, alors le vecteur ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{d})}$ est symétrique ${\displaystyle \alpha }$-stable.

On dit qu'une variable aléatoire complexe ${\displaystyle Z=X+\mathrm {i} Y}$ est de loi ${\displaystyle \alpha }$-stable, si le vecteur ${\displaystyle (X,Y)}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ est ${\displaystyle \alpha }$-stable.

On dit de plus que la loi de ${\displaystyle Z}$ est isotrope si, pour tout ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi [}$, les variables aléatoires ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }Z}$ et ${\displaystyle Z}$ sont identiquement distribuées. Dans ce cas, sa fonction caractéristique vérifie, pour tous complexes ${\displaystyle \theta =\theta _{1}+\mathrm {i} \theta _{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\theta _{1}X_{1}+\theta _{1}X_{1})}\right]=\mathrm {e} ^{-\sigma ^{\alpha }|\theta |^{\alpha }}}$, où ${\displaystyle \sigma }$ est un réel positif appelé paramètre d'échelle de ${\displaystyle Z}$.

Soit ${\displaystyle \alpha \in ]0,2[}$. On pose ${\displaystyle a(\alpha )=\left(\int _{0}^{+\infty }x^{-\alpha }\sin(x)\,\mathrm {d} x\right)^{-1/\alpha }}$. Soit ${\displaystyle \{\Gamma _{m}:m\in \mathbb {N} \}}$ et ${\displaystyle \{Z_{m}:m\in \mathbb {N} \}}$ deux processus mutuellement indépendants de variables aléatoires définis sur le même espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}},\mathbb {P} )}$ satisfaisant aux propriétés suivantes[2] :

1. Les ${\displaystyle \Gamma _{m}}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, sont les temps d'arrivée d'un processus de Poisson d'intensité 1 ; c'est-à-dire, pour tous ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, on a ${\displaystyle \Gamma _{m}=\sum _{n=1}^{m}\nu _{n}}$, où ${\displaystyle (\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ est une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre 1 indépendantes.
2. Les ${\displaystyle Z_{m}}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ sont des variables aléatoires réelles, symétriques, indépendantes, identiquement distribuées et vérifiant ${\displaystyle \mathbb {E} [|Z_{m}|^{\alpha }]<+\infty }$.

Alors la série ${\displaystyle \sum _{m=1}^{+\infty }Z_{m}\Gamma _{m}^{-1/\alpha }}$ converge presque sûrement. De plus, elle est de loi symétrique ${\displaystyle \alpha }$-stable et son paramètre d'échelle ${\displaystyle \sigma }$ vérifie ${\displaystyle \sigma =a(\alpha )^{-1}\left(\mathbb {E} [|Z_{1}|^{\alpha }]\right)^{1/\alpha }}$.

Soit ${\displaystyle \alpha \in ]0,2[}$. On pose ${\displaystyle a(\alpha )=\left(\int _{0}^{+\infty }x^{-\alpha }\sin(x)\,\mathrm {d} x\right)^{-1/\alpha }}$. Soit ${\displaystyle \{\Gamma _{m}:m\in \mathbb {N} \}}$ et ${\displaystyle \{Z_{m}:m\in \mathbb {N} \}}$ deux processus mutuellement indépendants de variables aléatoires définis sur le même espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}},\mathbb {P} )}$ satisfaisant aux propriétés suivantes[3] :

1. Les ${\displaystyle \Gamma _{m}}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, sont les temps d'arrivée d'un processus de Poisson d'intensité 1.
2. Les ${\displaystyle Z_{m}}$, ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, sont des variables aléatoires complexes, isotropes, indépendantes, identiquement distribuées et vérifiant ${\displaystyle \mathbb {E} [|{\text{Re}}(Z_{m})|^{\alpha }]<+\infty }$, où ${\displaystyle {\text{Re}}(Z_{m})}$ désigne la partie réelle de ${\displaystyle Z_{m}}$.

Alors la série ${\displaystyle \sum _{m=1}^{+\infty }Z_{m}\Gamma _{m}^{-1/\alpha }}$ converge presque sûrement. De plus, elle est de loi isotrope ${\displaystyle \alpha }$-stable et son paramètre d'échelle ${\displaystyle \sigma }$ vérifie ${\displaystyle \sigma =a(\alpha )^{-1}\left(\mathbb {E} [|{{\text{Re}}(Z_{1})|}^{\alpha }]\right)^{1/\alpha }}$.