Loi log-Cauchy

En théorie des probabilités et en statistique, la loi log-Cauchy est la loi de probabilité d'une variable aléatoire dont le logarithme suit une loi de Cauchy. Si X suit une loi de Cauchy, alors $Y=\exp(X)$ est de loi log-Cauchy ; similairement, si Y suit une loi log-Cauchy, alors $X=\ln(Y)$ est de loi de Cauchy[1].

Loi log-Cauchy
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$\mu \in \mathbb {R}$ $\sigma >0\!$
Support	$x\in ]0,+\infty [\!$
Densité de probabilité	${1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],$
Fonction de répartition	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {1}{2}},$
Espérance	n'existe pas
Médiane	$e^{\mu }\,$
Variance	infinie
Asymétrie	n'existe pas
Kurtosis normalisé	n'existe pas
Fonction génératrice des moments	n'existe pas

Cette loi dépend de deux paramètres $\mu$ et $\sigma$ . Si une variable X suit une loi log-Cauchy, on notera $X\sim LC(\mu ,\sigma )$ .

Caractérisation

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi log-Cauchy est donnée par :

{\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\begin{cases}{\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma  \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right]{\textbf {1}}_{\{x>0\}}\end{aligned}}

où $\mu$ est un nombre réel et $\sigma >0$ [1]^,[2]. Si $\sigma$ est connu, le paramètre d'échelle est $e^{\mu }$ [1]. Les paramètres $\mu$ et $\sigma$ correspondent respectivement aux paramètres de position et d'échelle de la loi de Cauchy associée[1]^,[3]. Certains auteurs définissent $\mu$ et $\sigma$ comme, respectivement, les paramètres de position et d'échelle de la loi log-Cauchy[3].

Pour $\mu =0$ et $\sigma =1$ , la loi log-Cauchy est associée à la loi de Cauchy standard, la densité de probabilité est alors réduite à[4] :

f(x;0,1)={\begin{cases}{\frac {1}{x\pi (1+(\ln x)^{2})}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Fonction de répartition

La fonction de répartition pour $\mu =0$ et $\sigma =1$ est[4] :

F(x;0,1)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Fonction de survie

La fonction de survie pour $\mu =0$ et $\sigma =1$ est[4] :

S(x;0,1)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)&{\text{ si }}x>0\\1&{\text{ sinon.}}\end{cases}}

Taux de défaillance

Le taux de défaillance pour $\mu =0$ et $\sigma =1$ est[4] :

\lambda (x;0,1)=\left({\frac {1}{x\pi \left(1+\left(\ln x\right)^{2}\right)}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right)\right)^{-1},\ \ x>0

Le taux de hasard décroit au début et sur la dernière partie du support de la densité, mais il peut exister un intervalle sur lequel le taux de hasard croît[4].

Propriétés

La loi log-Cauchy est un exemple de loi à queue lourde[5]. Certains auteurs la considère comme une loi à « queue super-lourde », car elle possède une queue plus lourde que celles de type de la distribution de Pareto, c'est-à-dire qu'elle a une décroissance logarithmique[5]^,[6]. Comme avec la loi de Cauchy, aucun des moments (non triviaux) de la loi log-Cauchy n'est fini[4]. La moyenne et l'écart-type étant des moments, ils ne sont pas définis pour la loi log-Cauchy[7]^,[8].

La loi log-Cauchy est infiniment divisible pour certains paramètres[9]. Comme les lois log-normale, log-Student et de Weibull, la loi log-Cauchy est un cas particulier de loi bêta généralisée du second type[10]^,[11]. La loi log-Cauchy est en fait un cas particulier de la loi log-Student, comme la loi de Cauchy est un cas particulier de la loi de Student à un degré de liberté[12]^,[13].

Puisque la loi de Cauchy est une loi stable, la loi log-Cauchy est une loi log-stable[14].

Estimation des paramètres

La médiane du logarithme naturel d'un échantillon est un estimateur robuste de $\mu$ [1].

Références

(en) Olive, D.J., « Applied Robust Statistics », Southern Illinois University, 23 juin 2008 (consulté le 18 octobre 2011), p. 86
(en) Lindsey, J.K., Statistical analysis of stochastic processes in time, Cambridge University Press, 2004, 354 p. (ISBN 978-0-521-83741-5), p. 33, 50, 56, 62, 145
(en) Mode, C.J. & Sleeman, C.K., Stochastic processes in epidemiology : HIV/AIDS, other infectious diseases, World Scientific, 2000, 29–37 p. (ISBN 978-981-02-4097-4, lire en ligne)
(en) Marshall, A.W. & Olkin, I., Life distributions : structure of nonparametric, semiparametric, and parametric families, Springer, 2007, 443–444 p. (ISBN 978-0-387-20333-1)
(en) M. Falk, J. Hüsler et R. Reiss, Laws of Small Numbers : Extremes and Rare Events, Springer, 2010, 3^e éd., 80 p. (ISBN 978-3-0348-0008-2)
(en) Alves, M.I.F., de Haan, L. & Neves, C., « Statistical inference for heavy and super-heavy tailed distributions », 10 mars 2006
(en) « Moment », Mathworld (consulté le 19 octobre 2011)
(en) Y. Wang, « Trade, Human Capital and Technology Spillovers: An Industry Level Analysis », Review of International Economics, vol. 15, n^o 2,‎ 2007, p. 269-283 (lire en ligne)
(en) Bondesson, L., « On the Levy Measure of the Lognormal and LogCauchy Distributions », Kluwer Academic Publications, 2003 (consulté le 18 octobre 2011), p. 243–256
(en) Knight, J. & Satchell, S., Return distributions in finance, Oxford/Boston, Butterworth-Heinemann, 2001 (ISBN 978-0-7506-4751-9), p. 153
(en) Kemp, M., Market consistency : model calibration in imperfect markets, Wiley, 2009, 376 p. (ISBN 978-0-470-77088-7)
(en) MacDonald, J.B., Statistical distributions in scientific work: proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Springer, 1981 (ISBN 978-90-277-1334-6), « Measuring Income Inequality », p. 169
(en) Kleiber, C. & Kotz, S., Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Science, Wiley, 2003, 101–102, 110 p. (ISBN 978-0-471-15064-0)
(en) Panton, D.B., « Distribution function values for logstable distributions », Computers & Mathematics with Applications, vol. 25, n^o 9,‎ mai 1993, p. 17–24 (DOI 10.1016/0898-1221(93)90128-I, lire en ligne, consulté le 18 octobre 2011)

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[robust-1] (en) Olive, D.J., « Applied Robust Statistics », Southern Illinois University, 23 juin 2008 (consulté le 18 octobre 2011), p. 86

[stochastic-2] (en) Lindsey, J.K., Statistical analysis of stochastic processes in time, Cambridge University Press, 2004, 354 p. (ISBN 978-0-521-83741-5), p. 33, 50, 56, 62, 145

[hiv-3] (en) Mode, C.J. & Sleeman, C.K., Stochastic processes in epidemiology : HIV/AIDS, other infectious diseases, World Scientific, 2000, 29–37 p. (ISBN 978-981-02-4097-4, lire en ligne)

[life-4] (en) Marshall, A.W. & Olkin, I., Life distributions : structure of nonparametric, semiparametric, and parametric families, Springer, 2007, 443–444 p. (ISBN 978-0-387-20333-1)

[small-5] (en) M. Falk, J. Hüsler et R. Reiss, Laws of Small Numbers : Extremes and Rare Events, Springer, 2010, 3^e éd., 80 p. (ISBN 978-3-0348-0008-2)

[6] (en) Alves, M.I.F., de Haan, L. & Neves, C., « Statistical inference for heavy and super-heavy tailed distributions », 10 mars 2006

[7] (en) « Moment », Mathworld (consulté le 19 octobre 2011)

[8] (en) Y. Wang, « Trade, Human Capital and Technology Spillovers: An Industry Level Analysis », Review of International Economics, vol. 15, n^o 2,‎ 2007, p. 269-283 (lire en ligne)

[9] (en) Bondesson, L., « On the Levy Measure of the Lognormal and LogCauchy Distributions », Kluwer Academic Publications, 2003 (consulté le 18 octobre 2011), p. 243–256

[10] (en) Knight, J. & Satchell, S., Return distributions in finance, Oxford/Boston, Butterworth-Heinemann, 2001 (ISBN 978-0-7506-4751-9), p. 153

[11] (en) Kemp, M., Market consistency : model calibration in imperfect markets, Wiley, 2009, 376 p. (ISBN 978-0-470-77088-7)

[12] (en) MacDonald, J.B., Statistical distributions in scientific work: proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Springer, 1981 (ISBN 978-90-277-1334-6), « Measuring Income Inequality », p. 169

[kleiber-13] (en) Kleiber, C. & Kotz, S., Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Science, Wiley, 2003, 101–102, 110 p. (ISBN 978-0-471-15064-0)

[14] (en) Panton, D.B., « Distribution function values for logstable distributions », Computers & Mathematics with Applications, vol. 25, n^o 9,‎ mai 1993, p. 17–24 (DOI 10.1016/0898-1221(93)90128-I, lire en ligne, consulté le 18 octobre 2011)